一昨日
『割り切れない数 素数』
昨日
『素数が無限個あることの証明（１）』
に続きまして
素数シリーズの第３回です
機械的に素数を見付ける方法として
「エラトステネスのふるい法」
がありますね
自然数を１から順に書いて表を作ります
小さい数字から素数かどうか判定
１は約数が１しかないので
レ印をつけます
２は素数ですが、その倍数は
素数ではなくなるので、
偶数に全部 レ印を付けます
３は素数ですが、その倍数に
全部 レ印を付けます
このように
レ印のついていない最初の数は素数で
その倍数をその都度消して行って
素数を見付けて行くのが
エラトステネスのふるい法です
オイラーによる
素数が無限にあることの証明には
このエラトステネスのふるい法が
出てきます
【証明３】
オイラーの証明
x = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … = 無限
これも証明できますが、
ここでは認めておいてください
両辺を 1/2 倍して
x/2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + …
上の２式の辺々引いて
(1-1/2)x = 1 + 1/3 + 1/5 + …
両辺を 1/3 倍して
1/3(1-1/2)x = 1/3 + 1/9 + 1/15 + …
上の２式の辺々引いて
(1-1/3)(1-1/2)x = 1 + 1/5 + 1/7 + …
両辺を 1/5 倍して
1/5(1-1/3)(1-1/2)x = 1/5 + 1/25 + 1/35 + …
上の２式の辺々引いて
(1-1/5)(1-1/3)(1-1/2)x = 1 + 1/7 + …
これらの操作は
最初に、分母が２の倍数が消されて
続いて、
３の倍数、５の倍数、７の倍数…
といった具合に消されて行って、、、
そうです
これは、最初に紹介した
エラトステネスのふるい法ですね
で、これを繰り返して
…(1-1/5)(1-1/3)(1-1/2)x = 1
左辺の係数で両辺を割って
x = 1 / {(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)…}
= (2•3•5•7•…)/{(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)…}
分子は全ての素数の積です
x は無限のはずなので
素数が有限だと x も有限となり、矛盾します
ということで、素数は無限
ここでは、
分数や式が見づらくて、すみません
実際に紙に書いて
楽しんでいただけたらと思います
素数シリーズは、とりあえずここまでです
（おしまい）
文：生塩研一
お読みいただきまして、ありがとうございました。
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