昨日のブログ
『割り切れない数 素数』
に続いて、素数の話です
数字が大きくなると
割り切れる数が増えるので
素数もまばらになってはきますが
無限に存在します
そして、
それを数学的に証明できます
その証明をいくつか紹介しましょう
その前に、
証明には背理法が使われます
背理法とは
ある命題に反する仮定をして
それが矛盾することから
元の命題を証明する方法です
例えば、
√２は無理数である
を証明してみましょう
無理数とは、分数で表せない数
無限小数も無理数ですが、
0.121212…
のように同じパターンが繰り返される
循環小数は有理数です
逆に分数で表せる数は 有理数
無理数と有理数を合わせると 実数
√２は無理数である
ということを証明するため
√２を有理数と仮定します
有理数なので分数で表せますね
√２ = a / b
ここで、a と b は互いに素
と仮定します
両辺の２乗して
２ = a^2 / b^2
2 b^2 = a^2 (1)
よって、a は偶数なので
a = 2c とおけるので、(1)式に代入
2 b^2 = 4 c^2
よって、
b^2 = 2 c^2
なので、b も偶数
a と b の両方が偶数となり
これは、a と b は互いに素とした
仮定に矛盾します
従って、√２は無理数 となります
懐かしかったですか？
では、
素数が無限に存在することの
証明に移りましょう
【証明１】
ユークリッドの証明
素数が有限個で n 個と仮定し
素数を P1, P2, P3, …, Pn とする
P = (P1 x P2 x P3 x…x Pn) + 1
とおくと、
PはP1からPnで割り切れない
従って、
Pは n+1 個目の新たな素数
これは、
素数が n 個であるとした過程に矛盾
故に、素数は無限に存在する
簡単すぎましたかね
【証明２】
サイダックの証明（2006年）
N を１より大きい自然数とします
N と N + 1 は連続する自然数なので
共通の約数（公約数）をもちません
どういうことかと言いますと、
公約数があるとして
それを a としましょうか
すると、N と N + 1 は
N = a*b
N+1 = a*c
のように表せます（ c > b ）
２つの式の辺々を引いて
1 = a*(b-c)
これを満たすa は 1 のみ
ということで、
N と N + 1 には公約数はありません
素数の証明に戻りまして
N と N + 1 に公約数がないので
N2 = N (N+1) は
２つ以上の異なる素因数
つまり、
２つ以上の異なる素数をもちます
N2 と N2 + 1 も連続する自然数なので
N3 = N2 ( N2 + 1)
= N (N+1) (N2+1)
は少なくとも
３つ以上の異なる素因数
つまり、
３つ以上の異なる素数をもちます
これは無限に続けられるので
素数は無限に存在することになります
Filip Saidak
The American Mathematical Monthly
Vol. 113, No. 10 (Dec., 2006), pp. 937-938.
（つづく）
文：生塩研一
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