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こんばんは。
昨夜の天気予報では、今日は曇り→雨
でも、今朝はスッキリした青空
午後から雨、との予報でしたので
午前中は子どもたちとテニスをする
予定にしていました
上の子は１年前から部活で
軟式テニスを始めていてかなり上達
下の子は今日でまだ３回目ですが
着実に上手くなりました
私もいい運動になりました
お昼前に帰宅して少し経ったら、雨が
天気予報、スゴいな。
お昼ご飯を食べて落ち着いていたら
下の子が積み木で遊び始めました
結構複雑で、上手に高く
積み上げるんですよね
左右対称に作るのも、おもしろい
で、ちょっと聞いてみました
私「平たい積み木を、こんな風に
少しずつずらして重ねてったら、
一番上は一番下より外側に
積めると思う？」
息子「むりやろ」
私「じゃあ、やってみよか」
息子「おー、すげー。なんで！」
私「な、やってみんと、わからんやろ」
この問題、
あまりずらすと崩れるだろう
という直感に反するだけでなく
理論的に計算するときの
数学的な直感にも反します
ずらす幅が段々小さくなって
最終的にはゼロになるのに
ずらす幅全体は無限大になるのです！
足していくのはほとんどゼロなのに
全体では無限大になっちゃうのです
直感に反するでしょ？
理論的に考えてみましょうか
考えるときのポイントとして
下からずらしていくのではなく、
上から下に積み木を増やしていきます
絵を描きながら、
ゆっくり考えてみてください。。
上から２つは簡単ですね
一番上の積み木の重心は
真ん中ですから、
２番目の端は半分までずらせます
３番目はどこまでずらせるかというと
上の２つの重心を考えたらよいので
半分が重なっていて、
その真ん中が重心になりますから、
1/4だけずらせることになります
４番目をどこまでずらせるかというと
上の３つの重心を探すことになります
ちょっと計算してみましょう
考えるのは、上の２つの重心と
その下の１つの重心がどこで
釣り合うかということです
釣り合うのがどこかは
モーメントが同じになるところで、
以前のブログ
「驚異のバランス技、からの物理」
で書きましたように
（重さ）X （支点からの距離）
が同じになるようにすればいいのです
支点は重心と同じことです
上の２つの重心は、
２番目の端から1/4
下の１つの重心は、真ん中です
その２つが釣り合うのですから、
重心を３番目の端から L3 とすると
（重さ）X （支点からの距離）より
2 X L3 = 1 X ( 1/2 - L3 )
で、これを解くと、L3 = 1/6
このように重ねたときに
上からn個の重心を考えますと
( n - 1 ) X Ln = 1 X ( 1/2 -Ln )
これを解いて、Ln = 1/2n
つまり、ずれた分を上から順に
足していくと
1/2 + 1/4 + 1/6 + ・・・ 1/2n
計算するとわかりますが、
５個目で丸１個分ずらせます
さらに、
nを無限大にもっていきますと
1/2n はゼロに近付きますが
この和全体は無限大になります
数学的な証明が必要ですが
興味がある方は、
WIKIBOOKSのサイトなどをご覧あれ
この積み木問題、おもしろいですよね
このような話をおもしろい方には
ガモフの本がオススメです
今回紹介した積み木問題もあります
ジョージ・ガモフ
『数は魔術師』
なんだか首もとがチリチリ。。
日に焼けたようです
日焼けのダメージはすぐに来るのね
筋肉痛は、明後日くらいかな（笑）
（おしまい）
お読みいただきまして、ありがとうございました。
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