linear adiabatic wave equation

こんばんは。今日で六月も終わりですねぇ。残すところ5セメも一ヶ月を切りましたので、レポートを頑張っていきたいです。

さて、今日は天体物理学実習のみでした。

実習は前の週に配られたレポート問題を黒板の前で発表するという、まぁ、授業よりもレポートに意味がある授業なのですが、今回は相対論に関する問題を発表しました。

いつもはバンバン発表するのですが、今回は計算が面倒だったので2回しか発表せず、他の誰も発表しなかったので、先生が一言。「じゃあ、今日はこれで終わりにしましょう。」

えっ、そんなノリでいいの！？？(ﾉ´▽｀)ﾉ

ということで、授業は一時間弱で終わりました。で、今、来週提出の問題を解いているのですが、2問解けません・・

ちなみにどんな問題かと言うと、

$\frac{\partial^2 \xi_r}{\partial t^2}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial r}\delta P-\frac{\delta \rho}{\rho^2}\frac{dP}{dr}+\frac{\partial}{\partial r} \delta \Phi=0\\ \delta \rho+\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \bigg(r^2\rho\xi_r\bigg)=0\\ \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \bigg(r^2\frac{\partial}{\partial r}\delta \Phi\bigg)=-4\pi G\frac{1}{r^2}\frac{\partial} {\partial r}\bigg(r^2\rho\xi_r\bigg)\\ \frac{\delta P}{P}+\xi_r\frac{d \ln P}{dr}=-\Gamma_1\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\bigg(r^2\xi_r\bigg)$

上の四つの式を用いて、以下のlinear adiabatic wave functionと呼ばれる式を導出することです。ちなみに上の式は上から順に密度、圧力、ポテンシャルを線形化したオイラー方程式　連続の式、ポアソン方程式、状態方程式です。

$\frac{d}{dr}\bigg[\Gamma_rP\frac{1}{P}\frac{d}{dr}\bigg(r^2\xi_r\bigg)\bigg]-\frac{4}{r}\frac{dP}{dr}\xi_r+\omega^2\rho\xi_r=0$

これらの式が何を表しているか簡単に説明します。

ガス球が球対称を保ったまま膨張収縮を繰り返す動径運動と呼ばれる運動があるのですが、それを解析するため流体力学における4つの基本方程式、つまり、上の四つの式を書いたわけです。本来は非線形の現象なのですが、それだと難しいので、とりあえず、摂動を考えて線形化して問題を単純化しようということで、線形化したわけです。

で、その4つの式から出てきた上の式はSturm-Liovile型と呼ばれる線形微分方程式なので、解析的なり数値的に解いてξを求め、振動の安定性を考えてみたりするみたいです。

天文っぽくて楽しいですね～。

ちなみ再来週のレポートはブラックホールの周りの粒子の運動を一般相対論的に考えるみたいです。これも楽しそうだ。

実習の問題は恒星やその周辺の物理に関するイントロ的な問題が多く、あまり突っ込んだ内容はやらないのですが、興味をかきたてるという意味で十分に意義が有りますし、より専門的な勉強に入っていくための指針となっていて教育的だと思います。興味が湧いたら自分で本を読めばいいですしね。