メモメモ

エルミート演算子 $\hat{A},\hat{B}$
を考えたとき、その積 $\hat{A}\hat{B}$
はエルミートにならないけど

$\exp(i\alpha)\hat{A}\hat{B}+\exp(-i\alpha)\hat{B}\hat{A}$

はエルミートになる。

量子力学演習の問題を解いている最中に、ある等式を証明せよという問題にぶち当たり、ブラケット表示で計算をごりごり進めていたら、エルミート演算子の積もエルミートになればQ.E.D.でしたがどうやら成り立たないみたいなので、最初から計算をやり直しです・・・・

とまぁ、悩みながらこの記事を書いていましたら、違うやり方が思い浮かんだので計算したらQ.E.D.でした。

いやぁ、数学的な話はよく分からないね・・・

そもそもさっきから数学の話ばかりで何をさせたいのかよく分かりませんでしたが、どうやら不確定性原理の導出をさせたいみたいです。ただし、導出といっても不確定性原理の証明というわけではありませんので注意。

しかも、正準共役なエルミート演算子で表わされる物理量についての話なので、位置と運動量のような場合だけじゃなく、より一般性があるみたい。

ただ、結論にいたるまでが面倒臭い・・・シュワルツの不等式まで出してくるしさ。

ちなみに証明したかったのは以下の式

$\triangle{A}^2\triangle{B}^2\geq \frac{1}{4}\bigg|\int\psi^*[A,B]\psi dx\bigg|^2\\with\triangle A^2=\int\psi^*\big(\hat{A}-\left<A \right>\big)^2\psi dx,\triangle B^2=\int\psi^*\big(\hat{B}-\left<B \right>\big)^2\psi dx\\and\left<A \right>=\int\psi^*\hat{A}\psi dx ,\left<B \right>=\int\psi^*\hat{B}\psi dx$