ステファン・ボルツマンの式を導くという話

昨日、天体物理学実習であまり注意を払われていなかった話題なんですが、さらっとステファン・ボルツマンの式が出てきました。

で、これを導くためには、プランクの公式を積分すればよく

$\rho = \int_{0}^{\infty} \rho(\nu) d\nu = \int_{0}^{\infty} {8\pi \nu^2\over c^3}{h \nu\over e^{h \nu/kT}-1} d\nu = {8\pi h\over c^3} \int_{0}^{\infty} {\nu^3\over e^{h \nu/kT}-1} d\nu$

上記のような式が出てきますが、問題は最右辺の式ですよね。これは換言すれば、以下のような積分はどうなるか？という話です。

$\int_{0}^{\infty} {x^3\over e^x-1} dx$

そんな問いを本日、数学サークルにて投げかけたところ、N氏はこの式をそのまま計算し、面倒くさがりの僕は「級数展開して、項別積分すれば良くね？」という発案者にあるまじき、言うだけ言って実際に手を動かさないという態度を取っていました。

結局、答えが出なかったので、自分で調べたところ、ドンピシャで級数展開でした。ただ、僕は $e^x$ を展開するのかと思ったんですが、実際はもう少し式変形して級数展開、しかも $\big(1-e^{-x}\big)^{-1}$ を $e^{-x}$ で展開するという、意図したやり方と違ってがっくりです。

結局、この式の積分は

$\int_{0}^{\infty} {x^3\over e^x-1} dx = {\pi^4 \over 15}$

という結果になり、最終的にステファン・ボルツマンの式は導出されるみたいです。

また、これの一般形では、

$\int_{0}^{\infty} {x^p\over e^x-1} dx = \Gamma(p+1)\zeta(p+1)$

が成り立つみたいです。証明は級数展開してやればよいです。

出発点はステファン・ボルツマン則を導くことでしたが、予期せぬ勉強ができたので何かラッキーです。