手を動かせばすぐにできる計算なので需要があるか分かりませんが・・・・
以前紹介した
と極座標でのmetric
を使って、極座標でのラプラシアンを求めてみましょう。
なる関係に注意すると、
となることが分かります。
これを
に入れて計算します。ここで、metricが対角成分しか持たないことを考慮すると
の組み合わせしか取れないことが分かります。また、行列式については
であることも容易に分かります。以上を踏まえて実際に計算すると
普段、見ているラプラシアンと多少形は違うが、実際に何かしらの関数に作用させて考えると実は同じであるということがわかると思います。
このやり方、一般性があって個人的には好きなのですが、問題は取った座標系におけるmetricを知っているかが問題になると思います。
ただ、よく使う座標系としては極座標系の他には円筒座標系くらいしか思い当たりませんので、円筒座標系のmetricは以下の式を用いると
であることが分かるので、こちらは案外楽にラプラシアンを導出できると思います。
（追記）
ちゃむしけさんの指摘がありましたので、訂正いたしました。最初のままだと足のつぶしあいでスカラーになってしまいますよね(笑)