何かラプラシアンの話が盛り上がってしまいましたね。（あれ？勘違い）
alfeさんのブログ↓にて変分を用いる方法とベクトル解析を用いる方法が書いてありましたので読んでみました。
http://ameblo.jp/alfe/theme2-10001270614.html
（リンクがまずければおっしゃってください。）
とりあえず、ベクトル解析を用いての証明は分かったのですが、変分の方は計算がめんどくさいということで放棄しました。重ね重ねごめんなさい<(_ _)>
で、alfeさんが仰ったmetricを用いてのラプラシアン表示もひとまず本を読んで勉強してみました。
数式を書きたい気持ちはやまやまなのですが、今、かなり疲労困憊中なので結果のみ載せておきます。
証明にはクリストッフェル記号や発散公式を使います。おそらく、一般相対論の扱いに慣れている人にはこちらの方が楽に求められるのではないかと思います。
例えば、極座標の時のmetricは
を取ってやれば良いです。