中心力場のシュレーディンガー方程式について勉強していますが、とにかく読んでいてダルイ・・・
「極座標における３次元のシュレーディンガー方程式」
→まぁ、極座標のラプラシアンの計算は去年の夏休みに３回くらい計算したから導出しなくていいか。
ここで、大事なのは、デカルト座標のハミルトニアンから始めて、それを量子化するか、極座標のハミルトニアンからから初めてそれを量子化するかで、結果が異なってしまう。ここにハミルトニアンの不定性の問題があるが、これは理論の持つべき対称性である程度取り除ける。
これはまだＯＫ。
次、「角運動量の量子化」→まぁ、丹念に変数変換して微分という作業をやるだけのでまだＯＫ
続きまして、
「ポテンシャルが球対称な時のシュレーディンガー方程式」
→デカルト座標系におけるハミルトニアンを量子化、そして極座標へ変換したシュレーディンガー方程式を使用する。さぁ、この方程式を解こうということで、動径部分と角度依存の部分で変数分離。
ひとまず、角度部分のところを考えるが、ここでも変数分離で、θとφの関数に変数分離。φ部分の微分方程式はすぐ解けるが、問題はθ部分。変数変換したり、特殊関数を使ったりして、結局、Legendreの陪関数に落ち着くというわけだが、面倒くさいよ・・・。
あとは、ちょこっと文字をいじくったら、球面調和関数というのが出てくるので、これで角度方向の関数は求めることが出来て、ここはＯＫ。最後に規格して、直交性を確かめる。
この球面調和関数、実は角運動量の２乗と、角運動量のz成分の固有関数になっていますよ～。これは大事だ。
次は動径方向の解ですが、まだちょっと曖昧なことと、これから皿を買いに行かないといけないためまた今度。
数式は暇な時に打ちます。