予習の段階では完全直交規格化の章が分かりませんでしたが、何とか理解できました。やはり、ゼミだと分からないところを理解できるのが良いですね。
分からなかった箇所の自分なりの理解をまとめると、
物理量演算子のエルミート性→固有値は実数であることと固有関数の直交性
固有関数が二乗可積分→規格化可能
ここで、完全系について考える。完全系とは任意の関数を展開できる固有関数全体のこと。固有関数が完全系をなしていれば、任意の波動関数は、以下のように展開できる。
ここで、直交規格化条件を使えば、展開係数は以下のように書ける。（ちなみにここが良く分かりませんでしたが、直交規格を使えば、当たり前ですね。）
この式を上の式に戻すことによって、直交規格化関数が完全系になっているときは、以下の式が満たされていることがわかる。
つまり、上の式は完全性を表しており、逆に固有関数が上の式を満たしていれば、固有関数が基底を構成していると言える。
今の場合、とびとびのスペクトルの場合を考えたが、連続スペクトルでも同様な議論ができ、固有関数系は完全直交規格をなすということが多分、言いたかったのではないかというのが僕の結論です。