たまには、天体物理学の話。
Lienard-Wiechart potential を用いると運動してる一個の点電荷が作る電場と磁場をもとめることができます。ただし、計算が面倒臭いため、まだ、自分の手を動かしてこの作業をやっていませんが、人生の中では一度はやってみると良いということなので、そのうちやってみます。
さて、その運動している電荷が作る電場ですが、二つに分かれます。距離の二乗に反比例する速度場ベクトルと距離に反比例する輻射場ベクトルです。
速度場ベクトルは、観測者と電荷の位置を結んだ直線に平行なので、これを測定することによって、電荷がいた位置がわかります。速度場ベクトルの様子を表したているのが、動いている鬼太郎による髪の毛針だそうです(笑)ここで、例の動画を見せられました。
しかし、速度場ベクトルは距離の二乗に反比例するという性質から、電荷の近くでしか効果を発揮せず、電荷が遠く離れた場所では輻射場の方が効いてくるので、普通は輻射場の扱いが問題となります。そりゃあ、天体からの電磁波を捕らえるという話になると、相当離れた距離になってきますからね。
ここで、速度場ベクトルなんですが、非相対論的近似を使うと、クーロン場と同じ形になります。つまり、近似を使わない場合は最初から相対論的効果を含んでいるのです。ここに、Maxwell方程式が相対論を内包しているという事実を垣間見ることができます。
また、速度場ベクトルの場合のエネルギー密度を面積分すると分かりますが、エネルギー量は距離の二乗に反比例してしまうので、遠くに行くほど減衰してしまうため、離れた場所にエネルギーを運ぶことができません。
次に輻射場ベクトルの話ですが、輻射場ベクトルは電荷が加速度を持つ場合に存在し、距離に反比例します。そのため、先ほども書いたとおり、輻射場ベクトルによるエネルギー密度を表面積分をすると定数が出てきます。これはとりもなおさず、エネルギーが保存すること、すなわち、無限遠方までエネルギーを運ぶことができます。また、非相対論的近似においては、電荷から観測者への方向ベクトルに直交します。
う～ん。数式を使えば、一発でわかることを言葉にすると面倒くさいですね。