物理的には、演算子が物 理量を表してるなら、その期待値が実数でなければいけないという条件から物理量を表す演算子はエルミートじゃないといけないということが言えるんですね。
では、エルミートとは何か？ということですが、一つの定義の仕方として、関数同士の内積の間で、
（Aψ,φ）＝（ψ、Bφ)
の関係が成り立つ時、BをAに対するエルミート共役な演算子といい、B=Aが成り立つ時、Aのことをエルミート演算子と言います。
また、上の式のAがエルミート演算子で、φ＝ψとしたとき、すなわち、
(Aψ,ψ）＝（ψ,Ａψ）
というのは、物理的には物理量Aに対する期待値が、その複素共役と等しい、すなわち期待値が実数であるということを言っています。このことからも物理量がエルミートで表されなければならないことが分かります。
だんだん量子力学らしさが出てきましたので、勉強していて楽しいです。
他にも言いたいことは色々あるんですが、自分の中で考えがまとまらないので控えたいと思います。