Newton力学ではポアソン方程式が以下の通りになります。
△φ＝４πＧρ
左辺にはポテンシャル、右辺には密度があります。
このままの式だと、共変的でないため相対論的とは言えないため、これを相対論的に拡張していかないといけない。
すなわち、テンソルを用いて
Ｆ＝Ｘ （添え字がついていないが両辺とも二階のテンソルです。添え字を略しました）
と書き表せないといけない。
測地線方程式について学んだ際、Newton力学との対比によって、ポテンシャルは計量テンソルを用いて表せたため、上の式の左辺は、計量テンソルとその微係数（ただし、２階まで）を含む形だろうという風に推測される。
また、ポアソン方程式の右辺には密度がきていることから、上式の右辺には、エネルギー運動量テンソルに係数がついたものが来るほうが自然だなと考える。
そうすると、エネルギー運動量テンソルの発散は０になるという性質があるので、左辺も発散を取ると０になるという条件を満たさないといけない。
このような条件を課していくと、左辺は任意の係数をつけたアインシュタインテンソルと、同じく任意係数をつけた計量テンソルの和で表されるものしか許されない。（このことの証明が載っていないので分かりません）
aG＋ｂｇ＝αＴ（例によって添え字は略です）
この両辺をaで割り、b/a=λ、α/a＝kと置けば、皆さんがよく知っているアインシュタイン方程式が導出されます。しかも、この場合、宇宙項までついてくるというおまけつきですが、この項はかなり微小なので、普通は無視します。、最近の宇宙論では復活しているみたいですが・・・
このままだと、エネルギー運動量テンソルの係数が決まらないのですが、これもNewton力学との対比によってその値が決まります。
式を使って書けないのがもどかしいですね。
かつては絶対に理解できない存在に思えた重力場方程式を導出できたことに感動しましたが、正直、Newton力学の拡張＋数学的処理だけというのにいささか拍子抜けしました。同時に、一般相対論も古典力学の域を出ていないことを痛感しました。
でも、重力を時空の幾何学として表し、エネルギー（特殊相対論では質量と等価）との関係まで示したこの式はやっぱり、偉大な発見だったと言えるのではないでしょうか。
あとは、最小作用の原理から重力場方程式を導出するということを学んだら、ブラックホールについて学習使用と思います。
しかし、春休みの間に重力場方程式までいけるとは思っていませんでした。人間、やろうと思えば一年間で結構、勉強できるんですねぇ・・・・
一通り、一般相対論を勉強しておくと、４月からのDiracゼミはスムーズにいけそうだ。