測地線方程式

測地線（geodesic curve）とは曲った空間の二点を結ぶ最短経路のことですね。

自由粒子の軌道は測地線となるのですが、このことを式で表すために２つの導出の仕方を学びました。

一つ目は局所ローレンツ系からの一般座標変換。

二つ目は、最小作用の原理からです。

個人的には後者の導出の方が好きですね。平坦な空間でも、曲った空間でも最小作用の原理から方程式を導出できるというのは非常に気持ちの良いものです。

一般座標系でのLagrangianは、特殊相対論の際に用いたやつの計量テンソルを書き換えるだけで良いです。ただ、実際に変分を行って計算をするときは、添え字の変更など多少、テクニカルな部分もありますが、それでもすっきりです。

測地線方程式では、質量がでてきません。これは慣性質量と重力質量が等しいという等価原理の表れです。また、ニュートンの式との比較からクリストッフェル記号が、重力そのものを表しているということが言えます。そうすると、Riemann's curvature tensorは、クリストッフェル記号の微分を用いて表されているので、重力の勾配に関する量というのが推測されます。

あとは、ニュートンモデルと比較したのち、電磁気学の一般相対論的書き換えを行ったらいよいよ重力場の方程式の話です。これ、もしかしたら春休みのうちに到達できるかも？？

あっ、でも、明日から春期講習だ・・・

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