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やっとで、一般相対論のための準備であるリーマン幾何学の章を読み終えました。
ちなみに現在、
内山「相対性理論」
佐藤「相対性理論」
を同時に読んでいます。後者の方は読みやすいのですが、前者はがっつり書いてあって読みにくいため、最初に後者を読んで、前者で後付けしていく感じです。
まぁ、ぶっちゃけ、Diracの方が読みやすいのでそっちから読めば良かったと後悔しているのは内緒です・・・
いいさ、まとめの意味で後で読んでやる。
さてさて、Riemann's curvature tensorの対称性の証明をしたあとは、こいつの縮約をとって、Ricci tensor を導出し、もう一回縮約を取ることで、scalar curvatureを定義しました。
尚、「リーマン空間として４次元時空を考えた時、この時空がミンコフスキー空間であるための必要十分条件は、Riemann's curvature tensorのすべての成分が０になることである」であることの十分条件の証明は意味不明でした。必要条件の証明は、計量としてミンコフスキー計量を取れば自明なんですけどね・・・
そして、その後はBianchi identityについて学習。余談ですが、identityで恒等式のって意味があるんですね。
この恒等式はテンソル方程式であるため、ある座標系での値が０であることを示せれば、テンソルの性質上、任意の座標系においても成り立つことが示せます。そのためにはクリストッフェル記号が局所的に０である座標系で証明をすれば、簡単に示せます。ここでも、等価原理が使われていますね。
さらに、Bianchi identityをいじくっていくとEinstein tensorを定義することができます。こいつの形は、かの有名な重力場の方程式の左辺にそっくりです。
と、まぁ、こんなところです。
次はいよいよ、リーマン幾何学を駆使して一般相対性理論を組み立てていく作業です。アインシュタインが一人で成しえたことを追体験していくことに興奮を隠しきれません。
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やっとで、一般相対論のための準備であるリーマン幾何学の章を読み終えました。
ちなみに現在、
内山「相対性理論」
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を同時に読んでいます。後者の方は読みやすいのですが、前者はがっつり書いてあって読みにくいため、最初に後者を読んで、前者で後付けしていく感じです。
まぁ、ぶっちゃけ、Diracの方が読みやすいのでそっちから読めば良かったと後悔しているのは内緒です・・・
いいさ、まとめの意味で後で読んでやる。
さてさて、Riemann's curvature tensorの対称性の証明をしたあとは、こいつの縮約をとって、Ricci tensor を導出し、もう一回縮約を取ることで、scalar curvatureを定義しました。
尚、「リーマン空間として４次元時空を考えた時、この時空がミンコフスキー空間であるための必要十分条件は、Riemann's curvature tensorのすべての成分が０になることである」であることの十分条件の証明は意味不明でした。必要条件の証明は、計量としてミンコフスキー計量を取れば自明なんですけどね・・・
そして、その後はBianchi identityについて学習。余談ですが、identityで恒等式のって意味があるんですね。
この恒等式はテンソル方程式であるため、ある座標系での値が０であることを示せれば、テンソルの性質上、任意の座標系においても成り立つことが示せます。そのためにはクリストッフェル記号が局所的に０である座標系で証明をすれば、簡単に示せます。ここでも、等価原理が使われていますね。
さらに、Bianchi identityをいじくっていくとEinstein tensorを定義することができます。こいつの形は、かの有名な重力場の方程式の左辺にそっくりです。
と、まぁ、こんなところです。
次はいよいよ、リーマン幾何学を駆使して一般相対性理論を組み立てていく作業です。アインシュタインが一人で成しえたことを追体験していくことに興奮を隠しきれません。
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