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夕方に昼寝をしてしまい眠れないということで、リーマン幾何学と戯れています。
簡単な流れをまとめると、
まずは、２階の共変微分を考えよう→曲っていない空間では微分の順序を逆にしても値は変わらないよね→でも、曲った空間では微分の順序は可換ではないよ→曲率の定義へ→じゃあ、曲率って何だろう？→曲った空間で、異なる経路を経てベクトルを平行移動させ、元の位置に戻ってこさせよう→このとき、出発したときと戻ってきたときのベクトルはずれているよ→その、ずれの度合を示す量が曲率となるんだ。
ざっとこんな感じかな。曲率の対称性を示すのが面倒臭い。Diracの教科書ではあっさりとやっているみたいなので参照してみようっと。