今日は、スカラー密度、テンソル密度について考えていました。
やはり、実際にどのような物理量があるのか分からないと想像しにくいです。
以下、今日分かったこと。
一般に別々の時空点におけるベクトルやテンソルは、各点において同種のテンソルであったとしても、それらの和や差は簡単な変換性を持たない。
あるスカラー場を考えて、それを時空で積分したとしよう。その値は座標系の取り方によって変わる。
ここで、ある被積分関数を時空で積分した結果、それがスカラーとなるとする。
さて、座標変換によって当然、その被積分関数の形は変化する。しかし、その結果はスカラーなんだから先程の計算結果と同じ値にならないといけない。
この要請によって、被積分関数は座標変換の際、関数行列式がかけられる。
つまり、被積分関数は座標変換に伴い、関数行列式がかけられるという変換を受けるとき、この被積分関数の事をスカラー密度と言う。
全く、同様な拡張でテンソル密度を定義することができる。
また、４階完全反対性共変テンソルは４個の添え字を持っていて、その０でない成分は、ただ一個のであり、（ただし符号の違いあり）、それはスカラー密度としての変換性を示す。
これを少し拡張した、４階完全反対性反変テンソル密度はスカラーを成分としてもち（±１）、これは座標変換でも成分の値が変わらないという性質を持つ。そして、このテンソル密度を用いると、テンソルからテンソル密度を作り出すことが出来る。
結局、このくらいのことしか分かりませんでした・・・・
とりあえず、数学の話はこれくらいにして、内山「相対性理論」に戻り、電磁気学の相対論的書き換えに取り組みたいと思います。
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やはり、実際にどのような物理量があるのか分からないと想像しにくいです。
以下、今日分かったこと。
一般に別々の時空点におけるベクトルやテンソルは、各点において同種のテンソルであったとしても、それらの和や差は簡単な変換性を持たない。
あるスカラー場を考えて、それを時空で積分したとしよう。その値は座標系の取り方によって変わる。
ここで、ある被積分関数を時空で積分した結果、それがスカラーとなるとする。
さて、座標変換によって当然、その被積分関数の形は変化する。しかし、その結果はスカラーなんだから先程の計算結果と同じ値にならないといけない。
この要請によって、被積分関数は座標変換の際、関数行列式がかけられる。
つまり、被積分関数は座標変換に伴い、関数行列式がかけられるという変換を受けるとき、この被積分関数の事をスカラー密度と言う。
全く、同様な拡張でテンソル密度を定義することができる。
また、４階完全反対性共変テンソルは４個の添え字を持っていて、その０でない成分は、ただ一個のであり、（ただし符号の違いあり）、それはスカラー密度としての変換性を示す。
これを少し拡張した、４階完全反対性反変テンソル密度はスカラーを成分としてもち（±１）、これは座標変換でも成分の値が変わらないという性質を持つ。そして、このテンソル密度を用いると、テンソルからテンソル密度を作り出すことが出来る。
結局、このくらいのことしか分かりませんでした・・・・
とりあえず、数学の話はこれくらいにして、内山「相対性理論」に戻り、電磁気学の相対論的書き換えに取り組みたいと思います。
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