2020/09/10
ここで ∫y^2dA は断面2次モーメントと言われ、断面の幾何学的な形状によってのみ決まります。これをIzとすれば
おはようございます！
前回は梁に曲げモーメントが加わった際に、ある微小区間dxを見ると、横方向(x方向)のひずみは、中立面からの距離yと曲率半径ρで書けるというところまでやりました。
そうです。下のような式です。
εx = y/ρ
変形はx方向のみで、y,zは拘束がなく応力がゼロです。なのでx方向の応力を求めるためには、ひずみにヤング率Eをかければいいということになります。
σx = E×y/ρ
下の図のように、上面では圧縮、下面では引張、その間は線形に分布して、中立面では0になります。これが曲げ変形の応力場の特徴です。
さて、この梁はモーメントにより回ったりしません。ということは釣り合いが成立しています。
モーメントの釣り合いを考えます。(力の釣り合いからは中立面の位置や図心の話になります)
モーメントを加えたことで、E×y/ρが生じ、これにyをかけた値の合計がモーメントに釣り合います。
1/ρ = M/ EIz
となります。EIzを曲げ剛性と呼び、曲げに対する曲がりにくさを表す指標となります。
(素材と断面形状できまるよ)
さらに変形すれば、応力は
下面には最大引張応力σ1、上面には最大圧縮応力σ2が生じ、それぞれ
この辺はただの定義です。
で与えられます。
曲げによる応力のは、断面の曲げモーメントに比例することがわかります。また中立面からの距離が大きいほど大きく、つまり表面で最大になります。
ここで中立面からの距離を下向き正でyと置き、
下面をy1(>0), 上面をy2(<0)とし、図5-21のような変形をした場合、
と記述されます。正は引張で負は圧縮ですね。
ちなみに、Z1, Z2は中立面に関する断面係数と呼ばれていて、それぞれ次式のように定義されます。
しかし少し物理的な意味も考えてみましょう。
Zは曲げモーメントに対する抵抗ともみることができます(Zが大きいほど応力小さくなるからね)。
また
M = σZ
として、ある応力を加えたい！という場合にどのくらいのモーメントが必要か考えてみましょう。
Zが大きければ、めっちゃモーメント必要だ！大変！
Zが小さければ、全然モーメントいらないやん…
となります。ではZは何で決まるんでしょうか？
長方形の横断面を持つ部材で考えます。
次の節で扱いますが長方形の断面2次モーメントを計算します。
つまりZは高さの2乗で大きくなります。
これは太ければ太いほどめちゃくちゃモーメントが必要になるということになります。
イメージできますよね？
極太の木を曲げて！って言われても…
くらいのもんです。断面形状でこんなにも変わるんですね…
では今回はここまで！次回は断面2次モーメントの話です！
では！