整数問題は基本的に以下の4つ (5つだった気もしますが...すみませんあまり覚えていなくて) の考え方をすればある程度は解けると思います。
(i)積の形を作る
言うまでもなく和差の形よりも積の形の方が候補を限定できます。
例えば...
x, y : 整数
3x-y=6...(1)
3xy=6...(2)
この場合(1)だとx,yは無限個存在するが(2)だと(x, y)=+-((1, 6),(2,3),(3,2),(6,1))(複合同順)だけなので(2)の形に持っていけばかなり楽ですね。
(ii)不等号で限定する
これも言うまでもないですが、不等号があった方が値は絞りやすいですよね。
例えば...
x, y, z : 自然数, x<=y<=z, x+y+z=6
これより
x+x+x= 3x <=6 ⇄ x<=2
x : 自然数より
1<=x<=2
したがって(1)x=1, (2)x=2で場合分けをして繰り返せば答えを出せます。
(iii)約数,倍数,素因数から解く
一昨年の東大の問題2015C(combination)mが偶数となるmの最小でしたっけ？あれも分子の2の約数と分母の2の約数の数の議論に持っていけば簡単でしたよね。
例えば...他にも
P : 素数, m : 自然数
P, m が P=m^3-4m^2-4m-5 を満たすとき P の値を求めよ。
P=(m-5)(m^2+m+1)となりますが、Pが素数（約数を2つだけ持つ）ということに帰着して求めると簡単です。
m-5=1かつ m^2+m+1 != 1 (以下 != は Not= とする) と
m^2+m+1 = 1 かつ m-5 != 1 場合分けしてmを求め、その後 P を求めると解けると思います。
後はガウス記号([x]<=x<=[x]+1⇨x-1<x<=x)とかですかね。
とりあえず今思いつくのはことくらいですかね。
(iV)余りに着目する
例えば...剰余定理とかmod (剰余演算)とかですが他にもあったような気がします。
ちょっとこれはあまり覚えてません。
まああくまで基本的なことなのですが普段から整数問題を解くときにこれらを意識するのがいいと思います。
今回は以上にしておきます。参考になれば良いです。
わからない問題についてはまたご連絡ください。ある程度の協力はできると思います。