前回までで楕円柱座標を設定しましたので、今回よりラプラシアンをXYZ座標から楕円柱座標へ変換します。
変換前のXYZ座標のラプラシアンは次のように表されます。
楕円柱座標ではｙは座標変換してもy=yで変わりません。ゆえにxとzの２つだけを変換します。
●１階微分
xは、μとνの関数であるので、次のように表せます。
zは、μとνの関数であるので、次のように表せます。
●２階微分
xの２階微分
∂μ/∂ｘと∂ν/∂ｘを求めれば、xの２階微分が求まることになります。
zの２階微分
∂μ/∂ｚと∂ν/∂ｚを求めれば、ｚの２階微分が求まることになります。
この解法こそが本シリーズの基幹部分ですが、微分方程式の本のラプラシアンの円柱座標および極座標への座標変換と全く同じなので、駆け足で通り過ぎます。
次回以降は、具体的に楕円柱座標のμ/∂ｘと∂ν/∂ｘ、そして∂μ/∂ｚと∂ν/∂ｚを求めます。そして微分計算になりますので、計算手順を詳細に記述していきます。
また次のような関係式を導いておきます。
さらに次の関係式も導けます。
