昨日の記事はこんな話でした。
もし「h→0 のとき sin h／h→1」が成り立つなら、sin x , cos x の微分・積分がスッキリ・シンプルになる。でも、それが成り立つかどうかを確認するためには「ところで、ラジアンって何だっけ？」を考えざるを得ない。
その続きです。
ラジアンの定義は
１ラジアン＝円の半径と弧の長さが等しくなるときの中心角（図１）
ということは、
単位円の中心角θに対応する弧の長さがθ（図２）
となる。なお、このとき
半径１、中心角θのおうぎ形の面積は θ／2（図２）
も言える。さらにそこに sinθ , cosθ , tanθ の長さに当たるものを書き込むと（図３）になる。その図から
線分BH＜弧AB＜線分AC
が成り立つと言えそうだ。すなわち、
sinθ＜θ＜tanθ … (1)
とはいえ「sinθ＜θ」は自明だろうけれど、「θ＜tanθ」に確信がもてないかもしれない。そういうことなら、面積を考えよう。
△OAB＜おうぎ形OAB＜△OAC
これなら間違いないだろう。それぞれθで表すと
sinθ／2＜θ／2＜tanθ／2
となって、(1) が成り立つことが確認できる。
続いて (1) の辺々を sinθ で割ると、
1＜θ／sinθ＜1／cosθ
さらに逆数をとると、
1＞sinθ／θ＞cosθ
ここで 「θ→0 のとき cosθ→1」 だから、
θ→0 のとき sinθ／θ→1
が成り立つ。
いや、本当はこれではダメで、上のことが成り立つのは θ＞0 の場合だけで、θ＜0 でも成り立つことを言わなければならないのだが、細かいことはさて置いて、当初の目的、
h→0 のとき sin h／h→1
が示されたものとしよう。