数学のカリキュラムに「データ分析」が入ってから２回目の大学入試。去年に続いて 一橋大学 の入学試験でデータ分析の問題が出た。今回も選択問題として出されて「ベクトル」か「データ分析」のどちらかを選ぶ形だった。（去年の問題は こちら をどうぞ）
（一橋大 2016）
x は 0 以上の整数である。次の表は２つの科目 X と Y の試験を受けた５人の得点をまとめたものである。
① ② ③ ④ ⑤
科目 X の得点 x 6 4 7 4
科目 Y の得点 9 7 5 10 9
(1) 2n 個の実数 a1 , a2 , ... , an , b1 , b2 , ... , bn について、
a＝1/nΣak , b＝1/nΣbk とすると、
a＝1/nΣak , b＝1/nΣbk とすると、
Σ(ak－a)(bk－b)＝Σakbk－nab
が成り立つことを示せ。 （※ Σak は「k が 1 から n まで変わるときの ak の和」を表す）
(2) 科目 X の得点と科目 Y の得点の相関係数 rXY を x で表せ。
(3) x の値を 2 増やして rXY を計算しても値は同じであった。
このとき、rXY の値を四捨五入して小数第１位まで求めよ。
《 解説・解答 》
(1) 左辺＝Σ(ak－a)(bk－b)
＝Σ(akbk－a・bk－b・ak＋ab)
＝Σakbk－aΣbk－bΣak＋nab
＝Σakbk－nab－nab＋nab
＝Σakbk－nab＝右辺
(2) (1) の右辺の値を表をもとに計算すると、(9x+168)－5・(x+21)/5・8＝x
一方、(1) の左辺を n で割ったものが共分散だから、X と Y の共分散 s(XY)＝x/5
また、X の分散は (x^2+117)／5－{(x+21)／5}^2 だから、X の標準偏差 s(X)＝√(4x^2－42x＋144)／5
Y の分散は 16／5 だから、Y の標準偏差 s(Y)＝4／√5
以上から、X と Y の相関係数は rXY＝ s(XY)／ s(X)・ s(Y)＝√5・x／4√(4x^2－42x＋144)
＝√10/8・ｘ／√(2x^2－21x＋72) ・・・(A)
(3) X の値を 2 増やしたとき、また一から計算しなおすと、
X と Y の共分散は s(XY)＝(x+2)/5
X の標準偏差は s(X)＝√(4x^2－26x＋76)／5
Y の標準偏差は（上と同じで） s(Y)＝4／√5
X と Y の相関係数は rXY＝√10/8・(ｘ+2)／√(2x^2－13x＋38) ・・・(B)
(A)＝(B) を解いて、x＝6
(A) または (B) に戻して、 rXY＝√5／4≒0.559 ∴ 0.6
※ (2) と (3) の計算がわずらわしい。なかなか合わなかった。。。