[答2222] 無理方程式
3√(35－x3)＝√(13－x2) を満たす実数ｘは？
[解答1]
3√(35－x3)＝√(13－x2) において、3√(35－x3) は実数だから、√(13－x2)≧0 、
よって、3√(35－x3)≧0 、x3≦35 ，x2≦13 です。
( 35＝33＋23 ，13＝32＋22 だから x＝3，2 が解であることに注意しておきます )
両辺を６乗して、(35－x3)2＝(13－x2)3 、1225－70x3＋x6＝2197－507x2＋39x4－x6 、
2x6－39x4－70x3＋507x2－972＝0 、(x－3)(x－2)(2x4＋10x3－x2－135x－162)＝0 、
試行錯誤の末、(x－2)(x－3)(2x2－4x－9)(x2＋7x＋18)＝0 、実数解は、x＝3，2，(2±√22)/2 、
ここで、196/9＜22＜25 だから 14/3＜√22＜5 、
(2＋√22)/2＞(2＋14/3)/2＝10/3 、{(2＋√22)/2}3＞1000/27＞37 だから不適、
|(2－√22)/2|＝(√22－2)/2＜(5－2)/2＝5/2 、
x＝3，2，(2－√22)/2 のとき x3≦35 ，x2≦13 を満たします。
[解答2]
3√(35－x3)＝√(13－x2) において、3√(35－x3) は実数だから、√(13－x2)≧0 、
よって、3√(35－x3)≧0 、x3≦35 ，x2≦13 です。
y＝3√(35－x3)＝√(13－x2) 、x＋y＝k とおくと、
y2＝13－x2 、x2＋y2＝13 、(x＋y)2－2xy＝13 、－2xy＝13－k2 です。
また、y3＝35－x3 、x3＋y3＝35 、(x＋y)(x2－xy＋y2)＝35 、(x＋y){2(x2＋y2)－2xy}＝70 、
k(2･13＋13－k2)＝70 、k(39－k2)＝70 、k3－39k＋70＝0 、(k－5)(k2＋5k－14)＝0 、
(k－5)(k－2)(k＋7)＝0 、k＝5，2，－7 です。
次に、y＝k－x を －2xy＝13－k2 に代入すれば、－2x(k－x)＝13－k2 、2x2－2kx＋k2－13＝0 、
k＝5 のとき 2x2－10x＋12＝0 、2(x－3)(x－2)＝0 、x＝3，2 、
k＝2 のとき 2x2－4x－9＝0 、x＝(2±√22)/2 、
k＝－7 のとき 2x2＋14x＋36＝0 、ｘは虚数です。
ここで、196/9＜22＜25 だから 14/3＜√22＜5 、
(2＋√22)/2＞(2＋14/3)/2＝10/3 、{(2＋√22)/2}3＞1000/27＞37 だから不適、
|(2－√22)/2|＝(√22－2)/2＜(5－2)/2＝5/2 、
x＝3，2，(2－√22)/2 のとき x3≦35 ，x2≦13 を満たします。
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