[答2103] 半円と弦の長さ
ABを直径とする半円があって、Aに近い方から 直径上にC，Dが、弧上にP，Qがあります。
∠PCQ＝∠PDQ＝90ﾟ ，AC＝12 ，CD＝7 ，DB＝9 のとき、PQ＝？
[解答1]
AB＝12＋7＋9＝28 だから xy平面上で A(－14，0)，B(14，0)，C(－2，0)，D(5，0) とし、
半円の方程式を x2＋y2＝142 (y≧0) とします。
∠PCQ＝∠PDQ＝90ﾟ より、C，DはPQを直径とする円周上にあります。
CDの垂直二等分線は x＝3/2 だから、この円の中心を M(3/2，m)，半径を r とすれば、
r2＝MC2＝49/4＋m2 ですので、この円は (x－3/2)2＋(y－m)2＝r2 、
x2＋y2－3x－2my＋9/4＋m2＝49/4＋m2 、x2＋y2－3x－2my＝10 、
x2＋y2＝142 と連立し、142－3x－2my＝10 、2my＝186－3x 、これが 直線PQの方程式であり、
MはPQ上にあるので、2m2＝186－3･3/2＝363/2 、m2＝363/4 、
r2＝49/4＋m2＝49/4＋363/4＝103 、r＝√103 、PQ＝2r＝2√103 です。
[解答2]
∠PCQ＝∠PDQ＝90ﾟ より、C，DはPQを直径とする円周上にあります。
ABの中点をO ，PQの中点をM ，直線OMと円Mとの交点をE，F ，
直線OMと円Oとの交点をG，H とし、MP＝MQ＝x ，OM＝m とします。
AB＝12＋7＋9＝28 だから OA＝OB＝28/2＝14 、OC＝14－12＝2 ，OD＝14－9＝5 です。
方べきの定理より、OE･OF＝OC･OD 、(x＋m)(x－m)＝2･5 、x2－m2＝10 、
方べきの定理より、MP･MQ＝MH･MG 、x･x＝(14－m)(14＋m) 、x2＝196－m2 、
x2－m2＝10 ，x2＝196－m2 を辺々加えて、2x2－m2＝206－m2 、x2＝103 、x＝√103 、
PQ＝2x＝2√103 です。
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