[答1942] 立方数の下５桁
n3 の下５桁が 88888 である自然数ｎは？
ｋを負でない整数として ｎをｋの式で表して下さい。
[解答1]
a，b，c，d を負でない整数とし、n3≡8 (mod 10) ，n3≡88 (mod 100) ，
n3≡888 (mod 1000) ，n3≡8888 (mod 10000) ，n3≡88888 (mod 100000) を
順に適用して条件を絞ります。
03≡0 ，13≡1 ，23≡8 ，33≡7 ，43≡4 ，53≡5 ，63≡6 ，73≡3 ，83≡2 ，93≡9 、
よって、n≡2 (mod 10) 、n＝10a＋2 とおきます。
n3＝103a3＋3･102･2a2＋3･10･22a＋23＝100(10a3＋6a2＋a)＋20a＋8 、
n3≡20a＋8≡88 (mod 100) だから 20a≡80 (mod 100) 、10a≡40 (mod 50) 、
n＝10a＋2≡42 (mod 50) 、n＝50b＋42 とおきます。
n3＝503b3＋3･502･42b2＋3･50･422b＋423＝1000(53b3＋3･5･21b2＋264b＋74)＋600b＋88 、
n3≡600b＋88≡888 (mod 1000) 、600b≡800 (mod 1000) 、3b≡4 (mod 5) 、
21b≡28 (mod 5) 、b≡3 (mod 5) 、50b≡150 (mod 250) 、
n＝50b＋42≡192 (mod 250) 、n＝250c＋192 とおきます。
n3＝2503c3＋3･2502･192c2＋3･250･1922c＋1923
＝10000(1562c3＋3･12･100c2＋2764c＋707)＋5000c3＋8000c＋7888 、
n3≡5000c3＋8000c＋7888≡8888 (mod 10000) 、5000c3＋8000c≡1000 (mod 10000) 、
5c3＋8c≡1 (mod 10) 、5c(c2＋1)＋3c≡1 (mod 10) 、35c(c2＋1)＋21c≡7 (mod 10) 、
c(c2＋1) は偶数だから、c≡7 (mod 10) 、250c≡1750 (mod 2500) 、
n＝250c＋192≡1942 (mod 2500) 、n＝2500d＋1942 とおきます。
n3＝25003d3＋3･25002･1942d2＋3･2500･19422d＋19423
＝100000(10･253d3＋3･125･971d2＋282852d＋73239)＋30000d＋88888 、
n3≡30000d＋88888≡88888 (mod 100000) 、30000d≡0 (mod 100000) 、3d≡0 (mod 10) 、
d≡0 (mod 10) 、d＝10k とおけば、n＝2500d＋1942＝25000k＋1942 です。
[解答2]
19423＝7323988888 を使うと、n3－19423 が 100000 の倍数であればよい。
n3－19423＝(n－1942)(n2＋1942n＋19422) であり、
n2＋1942n＋19422＝(n＋971)2－9712＋4･9712＝(n＋971)2＋3･9712 です。
(n＋971)2＋3･9712≡(n＋1)2＋3 (mod 5) で、平方数≡0，1，4 (mod 5) だから、
(n＋1)2＋3≡3，4，7 (mod 5) 、よって、n2＋1942n＋19422 は５の倍数になりません。
(n＋971)2＋3･9712≡(n＋3)2＋3 (mod 8) で、平方数≡0，1，4 (mod 8) だから、
(n＋1)2＋3≡3，4，7 (mod 8) 、よって、n2＋1942n＋19422 は８の倍数になりません。
(n－1942)(n2＋1942n＋19422) は 100000＝25･55 の倍数であり、
n2＋1942n＋19422 は ５の倍数でなく (４の倍数の可能性はあっても)８の倍数でないので、
n－1942 は 55 の倍数で 23 の倍数になり、n－1942＝23･55k と表される必要があります。
実際、n＝25000k＋1942 のとき、
n3＝(25000k＋1942)3＝250003k3＋3･250002･1942k2＋3･25000･19422k＋19423
＝250003k3＋3･250002･1942k2＋3･100000･9412k＋7323988888 だから、
n＝25000k＋1942 で十分です。
.
