[答1933] 円に内接する四角形
円に内接する四角形ABCDがあり、AD＝16 ，BD＝19 ，CD＝21 ，∠ADB＝∠BDC のとき、
この円の半径は？
[解答1]
∠ADB＝∠BDC＝θ ，AB＝BC＝x とおきます。
余弦定理より、x2＝162＋192－2･16･19cosθ＝192＋212－2･19･21cosθ 、
2･19･21cosθ－2･16･19cosθ＝212－162 、2･19･(21－16)cosθ＝(21＋16)(21－16) 、
cosθ＝37/38 、sinθ＝√(1－cos2θ)＝(5√3)/38 、
x2＝162＋192－2･16･19･37/38＝25 、x＝5 、
外接円の半径は 5/(2sinθ)＝5/{2･(5√3)/38}＝(19√3)/3 です。
[解答2]
∠ADB＝∠BDC より AB＝BC であり、∠A＋∠C＝180ﾟ だから、
△ABDを、Bを中心に AがCに重なるまで回転すれば、
等辺が 19 で底辺が 16＋21＝37 の二等辺三角形ができます。
Bから CDにおろした垂線を BH とすれば、HD＝37/2 、CH＝21－37/2＝5/2 です。
BH＝192－(37/2)2＝(19＋37/2)(19－37/2)＝(75/2)(1/2)＝75/4 、BH＝(5√3)/2 、
sin∠BDC＝BH/BD＝(5√3)/2/19＝(5√3)/38 です。
また、BC2＝BH2＋CH2＝75/4＋(5/2)2＝25 、BC＝5 ですので、
外接円の半径は BC/(2sin∠BDC)＝5/{(5√3)/19}＝19/√3＝(19√3)/3 です。
[解答3]
対角線AC，BDの交点をPとします。
△ABP∽△DBA で、相似比を 1：k (0＜k＜1) とすれば、
AB＝DBk＝19k ，AP＝DAk＝16k ，BP＝BAk＝19k2 です。
また、DPは∠ADCの二等分線だから、AP：PC＝AD：DC 、16k：PC＝19：21 、PC＝21k です。
角の二等分線の長さの公式より、DP2＝DA･DC－AP･CP＝16･21－16k･21k＝336(1－k2) 、
また、DP＝DB－BP＝19－19k2＝19(1－k2) だから、192(1－k2)2＝336(1－k2) 、
0＜k＜1 だから 1－k2≠0 、よって、361(1－k2)＝336 、25＝361k2 、5＝19k 、
よって、AB＝19k＝5 です。
(5＋16＋19)/2＝20 だから、ヘロンの公式により、
△ABD＝√{20(20－5)(20－16)(20－19)}＝√(20･15･4)＝20√3 、
外接円の半径は 5･16･19/(4･20√3)＝19/√3＝(19√3)/3 です。
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