[答1932] ５次方程式の実数解
５次方程式 x5－38x2－441x－798＝0 の実数解は？
[解答]
x(x4－441)－38(x2＋21)＝0 、x(x2＋21)(x2－21)－38(x2＋21)＝0 、
(x2＋21){x(x2－21)－38}＝0 、(x2＋21)(x3－21x－38)＝0 、
x2＋21＝0 のとき ｘは虚数だから、x3－21x－38＝0 の実数解を求めます。
ここで、a3＋b3＝38 ，ab＝7 とおけば、a3b3＝343 だから、
a3，b3 は t2－38t＋343＝0 の解で、t＝19±3√2 だから、
a＝3√(19＋3√2) ，b＝3√(19－3√2) とします。
また、x3－21x－38＝0 は x3－a3－b3－3abx＝0 になり、
(x－a－b)(x2＋a2＋b2＋ax＋bx－ab)＝0 、
x2＋a2＋b2＋ax＋bx－ab＝0 の判別式は (a＋b)2－4(a2＋b2－ab)＝－3(a－b)2＜0 、
よって、実数解は x＝a＋b＝3√(19＋3√2)＋3√(19－3√2) です。
.
