[答1928] ３辺が等差数列
△ABCの３辺 BC，CA，AB が この順に等差数列をなし、
0ﾟ＜α＜90ﾟ ，cosα＝2/7 である角αを使って ∠C＝∠A＋α と表されるとき、cos∠B＝？
[解答1]
BC＝b－d ，CA＝b ，AB＝b＋d とおきます。
∠BAC＝∠BCP となる点Pを 辺AB上にとれば、△ABC∽△CBP だから、
AB：CB＝BC：BP より BP＝BC2/AB 、
AP＝AB－BP＝AB－BC2/AB＝(AB2－BC2)/AB＝(AB＋BC)(AB－BC)/AB＝4bd/(b＋d) 、
AB：CB＝AC：CP より CP＝BC･CA/AB＝(b－d)b/(b＋d) 、
よって、AP：CP：CA＝4bd/(b＋d)：(b－d)b/(b＋d)：b＝4d：(b－d)：(b＋d) 、
余弦定理より、AP2＝CP2＋CA2－2CP･CAcosα 、
16d2＝(b－d)2＋(b＋d)2－2(b－d)(b＋d)cosα 、
8d2＝b2＋d2－(b2－d2)cosα 、(7－cosα)d2＝(1－cosα)b2 、
b2：d2＝(7－cosα)：(1－cosα) です。
cos∠B＝{(b－d)2＋(b＋d)2－b2}/{2(b－d)(b＋d)}＝(b2＋2d2)/(2b2－2d2)
＝{(7－cosα)＋2(1－cosα))}/{2(7－cosα)－2(1－cosα)}＝(9－3cosα)/12 、
cos∠B＝(3－cosα)/4 です。
本問では、cosα＝2/7 だから、cos∠B＝(3－2/7)/4＝19/28 です。
[解答2]
BC：CA：AB＝sin∠A：sin∠B：sin∠C が この順に等差数列をなすので、
sin∠B＝(sin∠C＋sin∠A)/2 、
2sin(∠B/2)cos(∠B/2)＝sin(∠C/2＋∠A/2)cos(∠C/2－∠A/2) 、
ここで、∠B/2＋∠C/2＋∠A/2＝90ﾟ だから、cos(∠B/2)＝sin(∠C/2＋∠A/2)≠0 、
よって、2sin(∠B/2)＝cos(α/2) 、２乗して、4sin2(∠B/2)＝cos2(α/2) 、
4(1－cos∠B)/2＝(1＋cosα)/2 、cos∠B＝(3－cosα)/4 です。
本問では、cosα＝2/7 だから、cos∠B＝(3－2/7)/4＝19/28 です。
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