[答1898] 方程式と自然数解
方程式 x2＋2nx－(n＋99)＝0 が自然数解をもつときの 自然数ｎは？
[解答1]
(x＋n)2＝n2＋n＋99 だから、n2＋n＋99＝k2 (k＞n) とおけば、
x＝－n±k 、自然数解は x＝－n＋k です。
n2＋n＋99＝k2 より 4n2＋4n＋396＝4k2 、(2n＋1)2＋395＝4k2 、
4k2－(2n＋1)2＝395 、(2k＋2n＋1)(2k－2n－1)＝395＝5･79 、
2k＋2n＋1＞2k－2n－1 だから (2k＋2n＋1，2k－2n－1)＝(79，5)，(395，1) 、
4n＋2＝79－5，395－1 、4n＝72，392 、n＝18，98 です。
[解答2]
2nx－n＝－x2＋99 、(2x－1)n＝99－x2 、4(2x－1)n＝396－4x2 、
4n＝(396－4x2)/(2x－1)＝(＋395＋1－4x2)/(2x－1)＝395/(2x－1)－(2x＋1) 、
ｘが自然数であれば、2x－1 は 395＝5･79 の約数であり、
n＝(99－x2)/(2x－1) ですので、x2＜99 、x≦9 、2x－1≦17 、
よって、2x－1＝5，1 、x＝3，1であり、n＝(99－x2)/(2x－1)＝18，98 です。
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