[答1892] ３進法，８進法の桁数
自然数ｎを３進法で表すときの桁数を f(n) ，８進法で表すときの桁数を g(n) とします。
例えば、10＝101(3)＝12(8) だから、f(10)＝3 ，g(10)＝2 です。
では、n → ∞ のとき f(n)/g(n) → ？
[解答]
3f(n)-1≦n＜3f(n) ，8g(n)-1≦n＜8g(n) より、
n＜3f(n)≦3n ，n＜8g(n)≦8n 、
log3n＜f(n)≦1＋log3n ，log8n＜g(n)≦1＋log8n 、
log3n＜f(n)≦1＋log3n ，1/(1＋log8n)≦1/g(n)＜1/log8n 、
辺々乗じて、(log3n)/(1＋log8n)＜f(n)/g(n)＜(1＋log3n)/(log8n) 、
1/{1/(log3n)＋(log8n)/(log3n)}＜f(n)/g(n)＜1/(log8n)＋(log3n)/log8n 、
ここで、(logan)/(logbn)＝(logan)(lognb)＝(lognb)/(logna)＝logab だから、
1/{1/(log3n)＋log83}＜f(n)/g(n)＜1/(log8n)＋log38 、
n → ∞ のとき 1/(log3n) → 0 ，1/(log8n) → 0 だから、
1/{1/(log3n)＋log83} → log38 ，1/(log8n)＋log38 → log38 、
はさみうちの定理より、f(n)/g(n) → log38＝3･log32＝1．89278926…… です。
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