[答1891] 巴戦の条件付確率
A，B，C の３人が優勝を決めるのに、第１戦は AとBが対戦し Cは待機します。
第２戦以後は 前の試合の勝者と待機者が対戦し 前の試合の敗者は待機します。
これを連勝者がでるまで続け、連勝者を優勝とします。
(1) 第８戦までにAが優勝したとき、最後の対戦が AとB であった条件付確率は？
(2) 優勝が決まるまで対戦を続け Aが優勝したとき、最後の対戦が AとB であった条件付確率は？
ただし、どの対戦でも 対戦者はどちらも 1/2 の確率で勝つものとします。
[解答]
優勝が決まる確率も決まらない確率も 第２戦では 1/2 ，第３戦では 1/22 ，…… ，
第ｎ戦では 1/2n-1 になります。
よって、n≧2 のとき 第ｎ戦が行われる確率は 1/2n-2 です。
優勝が決まらない状態での対戦は 直前のABの勝者をX，敗者をYで表せば、
第１戦から、AB ，XC ，CY ，AB ，XC ，CY ，AB ，XC ，CY ，…… なので、
第(3k－1)戦の XC の対戦で Xが勝てばXの優勝、
第(3k)戦の CY の対戦で Cが勝てばCの優勝、
第(3k＋1)戦の AB の対戦で Yが勝てばYの優勝です。
よって、Aが優勝するのは 第(3k－1)戦の XC の対戦で X＝A で Aが勝つときと、
第(3k＋1)戦の AB の対戦で Y＝A で Aが勝つときで、それぞれの確率は、
(1/23k-1-2)(1/2)(1/2)＝1/23k-1，(1/23k+1-2)(1/2)(1/2)＝1/23k+1 です。
第２戦，第５戦，第８戦，…… で Aが(Cに勝って)優勝する確率は、1/22 ，1/25 ，1/28 ，……
第４戦，第７戦，第10戦，…… で Aが(Bに勝って)優勝する確率は、1/24 ，1/27 ，1/210 ，……
(1) 第８戦までにAが優勝したとき、
AがCに勝って優勝する確率は 1/22＋1/25＋1/28＝73/256 、
AがBに勝って優勝する確率は 1/24＋1/27＝9/128 、
最後の対戦が AとB であった条件付確率は (9/128)/(9/128＋73/256)＝18/91 です。
(2) 優勝が決まるまで対戦を続け Aが優勝したとき、
AがCに勝って優勝する確率をｐとすれば、1/22＋1/25＋1/28＋……＝p 、
AがBに勝って優勝する確率は 1/24＋1/27＋1/210＋……＝p/4 、
最後の対戦が AとB であった条件付確率は (p/4)/(p＋p/4)＝1/5 です。
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