[答1891] 巴戦の条件付確率
A,B,C の3人が優勝を決めるのに、第1戦は AとBが対戦し Cは待機します。
第2戦以後は 前の試合の勝者と待機者が対戦し 前の試合の敗者は待機します。
これを連勝者がでるまで続け、連勝者を優勝とします。
(1) 第8戦までにAが優勝したとき、最後の対戦が AとB であった条件付確率は?
(2) 優勝が決まるまで対戦を続け Aが優勝したとき、最後の対戦が AとB であった条件付確率は?
ただし、どの対戦でも 対戦者はどちらも 1/2 の確率で勝つものとします。
[解答]
優勝が決まる確率も決まらない確率も 第2戦では 1/2 ,第3戦では 1/22 ,…… ,
第n戦では 1/2n-1 になります。
よって、n≧2 のとき 第n戦が行われる確率は 1/2n-2 です。
優勝が決まらない状態での対戦は 直前のABの勝者をX,敗者をYで表せば、
第1戦から、AB ,XC ,CY ,AB ,XC ,CY ,AB ,XC ,CY ,…… なので、
第(3k-1)戦の XC の対戦で Xが勝てばXの優勝、
第(3k)戦の CY の対戦で Cが勝てばCの優勝、
第(3k+1)戦の AB の対戦で Yが勝てばYの優勝です。
よって、Aが優勝するのは 第(3k-1)戦の XC の対戦で X=A で Aが勝つときと、
第(3k+1)戦の AB の対戦で Y=A で Aが勝つときで、それぞれの確率は、
(1/23k-1-2)(1/2)(1/2)=1/23k-1,(1/23k+1-2)(1/2)(1/2)=1/23k+1 です。
第2戦,第5戦,第8戦,…… で Aが(Cに勝って)優勝する確率は、1/22 ,1/25 ,1/28 ,……
第4戦,第7戦,第10戦,…… で Aが(Bに勝って)優勝する確率は、1/24 ,1/27 ,1/210 ,……
(1) 第8戦までにAが優勝したとき、
AがCに勝って優勝する確率は 1/22+1/25+1/28=73/256 、
AがBに勝って優勝する確率は 1/24+1/27=9/128 、
最後の対戦が AとB であった条件付確率は (9/128)/(9/128+73/256)=18/91 です。
(2) 優勝が決まるまで対戦を続け Aが優勝したとき、
AがCに勝って優勝する確率をpとすれば、1/22+1/25+1/28+……=p 、
AがBに勝って優勝する確率は 1/24+1/27+1/210+……=p/4 、
最後の対戦が AとB であった条件付確率は (p/4)/(p+p/4)=1/5 です。
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