[答1884] 面積と軌跡
OA＝OB＝4 である直角二等辺三角形OABがあって、半直線AO上に点C，半直線BO上に点Dを、
四角形ABCDの面積が 16 になるようにとり、半直線BC，ADの交点をPとするとき、
点Pの軌跡の長さは？ (CまたはDがOに一致するときもABCDを四角形と見なします)
[解答1]
座標平面上で、O(0，0)，A(0，4)，B(－4，0)，C(0，c)，D(d，0)，P(x，y) とします。
C(0，0) のとき D(4，0)，P(4，0) であり、D(0，0) のとき C(0，－4)，P(0，－4) です。
cd≠0 のとき、BC：－x/4＋y/c＝1 ，AD：x/d＋y/4＝1 で、この交点がPです。
x＞－4 ，y＜4 に注意して、y/c＝1＋x/4＝(4＋x)/4 だから、c/y＝4/(4＋x) 、c/4＝y/(4＋x) 、
x/d＝1－y/4＝(4－y)/4 だから、d/x＝4/(4－y) 、d/4＝x/(4－y) です。
次に、四角形ABCDの面積は (4－c)(d＋4)/2＝16 だから、(1－c/4)(d/4＋1)＝2 、
{1－y/(4＋x)}{x/(4－y)＋1}＝2 、{(4＋x)－y}{x＋(4－y)}＝2(4＋x)(4－y) 、
(4＋x－y)2＝2(16－4y＋4x－xy) 、16＋x2＋y2＋8x－8y－2xy＝32－8y＋8x－2xy 、
x2＋y2＝16 、cd＝0 のときの (4，0)，(0，－4) も この円上にあります。
また、c/4＝y/(4＋x)＜1 より y＜x＋4 、d/4＝x/(4－y)＞－1 より x＞y－4 だから、
求める軌跡は x2＋y2＝16 の y＜x＋4 の部分です。
その長さは、2π･4･3/4＝6π＝18．849555…… です。
[解答2]
AC＝4＋4c ，BD＝4＋4d とおけば、四角形ABCDの面積は (4＋4c)(4＋4d)/2＝16 だから、
(1＋c)(1＋d)＝2 、c＋d＝1－cd 、(c＋d)/(1－cd)＝1 、
c＜0 のとき ∠OBC＜0 ，d＜0 のとき ∠OAD＜0 と見れば、c＝tan∠OBC ，d＝tan∠OAD だから、
tan(∠OBC＋∠OAD)＝1 、∠OBC＋∠OAD＝45ﾟ になり、
∠APB＋∠OBC＋∠OAD＝∠AOB だから、∠APB＋45ﾟ＝90ﾟ 、∠APB＝45ﾟ＝∠AOB/2 、
Pの軌跡はOを中心とする半径 OA＝OB＝4 の優弧ABです。
その長さは、2π･4･3/4＝6π＝18．849555…… です。
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