[答1881] 漸化式で表される数列

[答1881] 漸化式で表される数列


　a₁a₂＋a₂a₃＋a₃a₄＋……＋a_n-1a_n＝na₁a_n/2 (n＝2，3，4，……) を満たす数列｛a_n｝において、

　a₁₈＝1 ，a₁₈₀＝1/11 のとき、(a₁，a₂，a₁₄₂₇₄)＝？


[解答]

　a₁a₂＋a₂a₃＋a₃a₄＋……＋a_n-1a_n＝na₁a_n/2 (n＝2，3，4，……) の

　式の構造より、a₁ だけ 他の a_n と式での使われ方が違うので、

　a₁＝a とし、数列｛a_n｝は n≧2 の場合を考えます。

　aa₂＋a₂a₃＋a₃a₄＋……＋a_n-1a_n＋a_na_n+1＝(n＋1)aa_n+1/2 から、

　aa₂＋a₂a₃＋a₃a₄＋……＋a_n-1a_n＝naa_n/2 を、

　辺々減じて、a_na_n+1＝(n＋1)aa_n+1/2－naa_n/2 です。

　ここで、a＝0 であれば、すべての自然数ｎについて a_na_n+1＝0 ですので、

　隣接する２項の少なくとも一方は 0 であり、

　a₁₇＝a₁₉＝a₁₇₉＝a₁₈₁＝0 ですが、

　a₂，a₁₄₂₇₄ は任意の値をとり得ます。

　(例えば、a₁＝a₃＝a₅＝a₇＝……＝0 である数列は条件を満たします。)

　a_na_n+1＝(n＋1)aa_n+1/2－naa_n/2 において、

　a≠0 であれば、a_n＝0 ⇔ a_n+1＝0 だから、n≧2 において、

　a_n＝0 を満たす自然数ｎが存在すれば、すべての自然数ｎについて a_n＝0 、

　対偶をとって、

　a_n≠0 を満たす自然数ｎが存在すれば、すべての自然数ｎについて a_n≠0 、

　a₁₈≠0 だから、すべての自然数ｎについて a_n≠0 です。

　a_na_n+1＝(n＋1)aa_n+1/2－naa_n/2 を n(n＋1)aa_na_n+1/2 で割って、

　(2/a)/{n(n＋1)}＝1/(na_n)－1/{(n＋1)a_n+1} 、

　(2/a){1/n－1/(n＋1)}＝1/(na_n)－1/{(n＋1)a_n+1} 、

　(1/a_n+1－2/a)/(n＋1)＝(1/a_n－2/a)/n になり、

　(1/a_n－2/a)/n は一定で、(1/a_n－2/a)/n＝d とおけば、1/a_n＝nd＋2/a 、

　a₁₈＝1 ，a₁₈₀＝1/11 だから、1＝18d＋2/a ，11＝180d＋2/a 、

　d＝5/81 ，2/a＝－1/9 、a＝－18 になり、

　1/a_n＝5n/81－1/9＝(5n－9)/81 、a_n＝81/(5n－9) です。

　よって、a₂＝81 ，a₁₄₂₇₄＝81/71361＝1/881 です。

　まとめて、(a₁，a₂，a₁₄₂₇₄)＝(0，p，q)，(－18，81，1/881) (p，qは任意) です。

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