[答1880] 解の和と積

[答1880] 解の和と積


　(5＋4i)(|z|²－82)－287iz＝0 を満たす２個の複素数 z について、その和は？

　また、その積は？


[解答1]

　z＝x＋yi (x，yは実数) とおけば、(5＋4i)(|z|²－82)－287iz＝0 より、

　(5＋4i)(x²＋y²－82)－287i(x＋yi)＝0 、

　{5(x²＋y²－82)＋287y}＋{4(x²＋y²－82)－287x}i＝0 、

　5(x²＋y²－82)＋287y＝0 ……(1) 、4(x²＋y²－82)－287x＝0 ……(2) 、

　(1)/5－(2)/4 より、287y/5＋287x/4＝0 、x/4＝－y/5 、

　x＝4k ，y＝－5k とおいて (2)に代入すれば、

　4(16k²＋25k²－82)－287･4k＝0 、16k²＋25k²－82－287k＝0 、41k²－287k－82＝0 、

　k²－7k－2＝0 、判別式は 7²－4･(－2)＞0 だから ｋは実数、

　この解を a，b とすれば、解と係数の関係により、a＋b＝7 ，ab＝－2 です。

　z＝x＋yi＝4k－5ki＝(4－5i)k ですので、２個の z は (4－5i)a と (4－5i)b 、

　和は (4－5i)(a＋b)＝7(4－5i)＝28－35i 、

　積は (4－5i)²ab＝－2(－9－20i)＝18＋80i です。


[解答2]

　両辺に(－i)をかけて、(4－5i)(|z|²－82)－287z＝0 、z＝(4－5i)(|z|²－82)/287 、

　(|z|²－82)/287＝k とおけば ｋは実数で、z＝(4－5i)k であり、

　z の共役複素数は (4＋5i)k だから、|z|²＝(4－5i)k･(4＋5i)k＝41k² です。

　(4－5i)(|z|²－82)－287z＝0 に代入し、(4－5i)(41k²－82)－287(4－5i)k＝0 、

　41k²－82－287k＝0 、k²－7k－2＝0 、判別式は 7²－4･(－2)＞0 だから ｋは実数、

　この解を a，b とすれば、解と係数の関係により、a＋b＝7 ，ab＝－2 です。

　z＝(4－5i)k ですので、２個の z は (4－5i)a と (4－5i)b 、

　和は (4－5i)(a＋b)＝7(4－5i)＝28－35i 、

　積は (4－5i)²ab＝－2(－9－20i)＝18＋80i です。

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