[答1877] 連立方程式の実数解
(x－18)/(x－y)＝(y－18)/(y－z)＝(z－18)/(z－x) ，xyz＝5755 を満たす
x，y，z のうち、実数であるものの値は？
[解答1]
x＝18 であれば、y＝z＝18 になり、分母が0ですので、式が成立しません。
よって、x≠18 、同様に、y≠18 ，z≠18 です。
x－18＝X ，y－18＝Y ，z－18＝Z とおけば、X/(X－Y)＝Y/(Y－Z)＝Z/(Z－X) 、
(X－Y)/X＝(Y－Z)/Y＝(Z－X)/Z 、1－Y/X＝1－Z/Y＝1－X/Z 、Y/X＝Z/Y＝X/Z＝K とおきます。
Y＝KX ，Z＝KY＝K2X であり、K≠1 ，K3＝1 だから、K2＋K＋1＝0 です。
次に、xyz＝5755 だから、(X＋18)(Y＋18)(Z＋18)＝5755 、
XYZ＋18(YZ＋ZX＋XY)＋324(X＋Y＋Z)＋5832＝5755 、
K3X3＋18(K3X2＋K2X2＋KX2)＋324(X＋KX＋K2X)＝－77 、
X3＋18K(K2＋K＋1)X2＋324(K2＋K＋1)X＝－77 、X3＝－77 、
Y3＝K3X3＝－77 、Z3＝K3Y3＝－77 、よって、X3＝Y3＝Z3＝－77 、
x，y，z は互いに異なり、(x－18)3＝(y－18)3＝(z－18)3＝－77 だから、
x，y，zのうち、実数であるものの値は 18－3√77 です。
[解答2]
(x－18)/(x－y)＝(y－18)/(y－z)＝(z－18)/(z－x)＝k とおくと、
x－18＝k(x－y) ，y－18＝k(y－z) ，z－18＝k(z－x) 、
辺々加えて、x＋y＋z－3･18＝0 、x＋y＋z＝3･18 になり、
zx－18z＝kz(x－y) ，xy－18x＝kx(y－z) ，yz－18y＝ky(z－x) 、
辺々加えて、yz＋zx＋xy－18(x＋y＋z)＝0 、yz＋zx＋xy＝18･3･18＝3･182 です。
xyz＝5755 と併せて、x，y，zは t3－54t2＋18･54t－5755＝0 の解です。
t3－3･18t2＋3･182t－183＋77＝0 、(t－18)3＝－77 、ｔが実数であれば、
t－18＝－3√77 、t＝18－3√77 ですので、
x，y，zのうち、実数であるものの値は 18－3√77 です。
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