[答1873] 円の半径
円周上に点A，B，C，Dがこの順にあって、ACとBDの交点をPとします。
AB＝17 ，CD＝65 ，∠APB＝60ﾟ のとき、この円の半径は？
[解答1]
この円の半径をRとします。
△ABP∽△DCP だから、BP：CP＝AB：DC＝17：65 になり、BP＝17k ，CP＝65k とすれば、
△ABPで正弦定理より、17/sin60ﾟ＝17k/sin∠A 、17sin∠A＝17ksin60ﾟ 、2sin∠A＝k√3 、
△BCPで余弦定理より、BC2＝(17k)2＋(65k)2－2(17k)(65k)cos120ﾟ＝5619k2 、BC＝k√5619 、
△ABPで正弦定理より、R＝BC/(2sin∠A)＝(k√5619)/(k√3)＝√1873 です。
[解答2]
弧ABの円周角 ∠ACB と 弧CDの円周角 ∠CBD を加えると、
∠ACB＋∠CBD＝∠APB＝60ﾟ ですので、
右図のように、弧AE＝弧CD を満たすように点Eをとれば、弧BAEの円周角は 60ﾟ です。
BCを１辺とする正三角形を描けば、この円の半径は BE/√3 です。
60ﾟ，120ﾟ の内角をもつ三角形の面積は はさむ２辺の積に比例するので、
BE2＝3･17･65＋(65－17)2＝3･17･65＋48･48 、
BE2/3＝17･65＋16･48＝1873 、BE/√3＝√1873 です。
[参考] たけちゃんさんのコメントより
[0] 劣弧DA上にQを，DQ＝BA となるようにとる．
四角形ABDQは AQ//BD の等脚台形となり，∠BDQ＝∠DBA＝∠DCA.
よって，∠QDC＝∠DCA＋∠CDB＝180ﾟ－∠CPD＝120ﾟ.
余弦定理を用いて，
CQ2＝652＋172－2･65･17･cos120ﾟ＝652＋172＋65･17＝5619 であり，
正弦定理より，求める半径は (√5619)/(2sin120ﾟ)＝(√5619)/(√3)＝√1873.
(考察)
円上で，CD＝65 である弦CDを固定し，
AB＝17 である弦ABを，A，B，C，Dがこの順に並ぶように動かす．
AC，BDの交点をPとする．
∠ACB，∠CBDも一定であり，その和である∠CPDも一定．
よって，弦ABは，考察しやすい位置に移して考えてよい．
[0]は，AをDに近づけた極限を考えたのと同じことになる．
また，以下のようにも解けることになる．
[1] AB//DCとなるようにABをとれば，
△ABP，△CDPはともに正三角形となり，
AD＝√5619，∠ACD＝60ﾟ から，同じ結論が得られる．
[2] BCが直径となるようにABをとれば，
∠BAC＝∠BDC＝90ﾟ となり，
BP＝17/sin60ﾟ＝34/√3，CP=65/sin60ﾟ＝130/√3となり，
(BC/2)√3＝√(652＋172－65･17)＝√5619
から，求める半径は，BC/2＝√1873.
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