[答1868] ３次方程式の解の絶対値
ｋを実定数とする３次方程式 x3－30x2＋kx－1800＝0 の解を a，b，c とします。
|a|＞10 ，|b|＝10 とするとき、(k，a，b)＝？
[解答]
b＝10 のとき、103－30･102＋10k－1800＝0 、10k－3800＝0 、k＝380 です。
x3－30x2＋380x－1800＝0 、(x－10)(x2－20x＋180)＝0 、x＝10，10±(4√5)i 、
|10±(4√5)i|＝√(102＋80)＞10 だから、(k，a，b)＝(380，10±(4√5)i，10) です。
b＝－10 のとき、－103－30･102－10k－1800＝0 、－10k－5800＝0 、k＝－580 です。
x3－30x2－580x－1800＝0 、(x＋10)(x2－40x－180)＝0 、x＝－10，20±√580 、
24＜√580＜25 だから、(k，a，b)＝(－580，20＋2√145，－10) です。
ｂが虚数のとき、ｂの共役複素数もこの方程式の解であり、|a|≠|b| だから、
ｂとｃが共役で、bc＝|b|2＝100 、
解と係数の関係により、a＋b＋c＝30 ，bc＋ca＋ab＝k ，abc＝1800 であり、
a＋b＋c＝30 ，100＋a(b＋c)＝k ，100a＝1800 、
a＝18 ，b＋c＝12 ，k＝216 、b，c は x2－12x＋100＝0 の解で 6±8i です。
まとめて、
(k，a，b)＝(380，10±(4√5)i，10)，(－580，20＋2√145，－10)，(316，18，6±8i) です。
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