[答1847] 正方形と垂直二等分線
図のように、１辺が 4√3 の正方形ABCDがあり、辺AD上にA以外の点Pがあります。
BPの垂直二等分線とAB，BCの延長との交点をそれぞれQ，Rとするとき、
QRの長さLの最小値は？ また、△QBRの面積Sの最小値は？
[解答1]
BPの中点をMとし、AP＝ABx (0＜x≦1)とすれば、BP＝AB√(x2＋1) 、
BM＝BP/2＝(AB/2)√(x2＋1) 、BM2＝(AB/2)2(x2＋1)＝12(x2＋1) です。
BM：MQ＝MR：BM＝1：x だから、MQ＝BMx ，MR＝BM/x になり、
L＝QR＝(x＋1/x)BM＝(x2＋1)BM/x 、L2＝(x2＋1)2BM2/x2＝12(x2＋1)3x-2 、
S＝QR･BM/2＝(x2＋1)BM2/x/2＝6(x2＋1)2x-1 です。
dL2/dx＝12{3(x2＋1)2･2x･x-2＋(x2＋1)3･(－2x-3)}＝24(x2＋1)2x-3(2x2－1) 、
0＜x＜1/√2 のとき dL2/dx＜0 ，1/√2＜x＜1 のとき dL2/dx＞0 だから、
x＝1/√2 のとき L2の最小値 12(1/2＋1)3･2＝81 、Lの最小値は 9 です。
dS/dx＝6{2(x2＋1)･2x･x-1＋(x2＋1)2･(－x-2)}＝6(x2＋1)x-2(3x2－1) 、
0＜x＜1/√3 のとき dS/dx＜0 ，1/√3＜x＜1 のとき dS/dx＞0 だから、
x＝1/√3 のとき Sの最小値 6(1/3＋1)2･√3＝32/√3＝18．4752…… です。
[解答2]
正方形ABCDの１辺を 2a とし、座標平面上で、A(0，2a)，B(0，0)，C(2a，0) とし、
BPの傾きをｍとすれば、m≧1 ，P(2a/m，2a) です。
QRはBPの中点(a/m，a)を通る、傾き －1/m の直線だから、y－a＝－(1/m)(x－a/m) です。
x＝0 とおけば、y＝a＋a/m2 だから、Q(0，a(m2＋1)/m2) 、
y＝0 とおけば、x＝a/m＋am だから、R(a(m2＋1)/m，0) 、
L2＝QR2＝a2(m2＋1)2/m4＋a2(m2＋1)2/m2＝a2(m2＋1)3/m4＝a2{(m2＋1)/m4/3}3 、
L＝a{(m2＋1)/m4/3}3/2＝a(m2/3＋1/m4/3)3/2＝a(m2/3/2＋m2/3/2＋1/m4/3)3/2
≧a〔3･3√{(m2/3/2)(m2/3/2)(1/m4/3)}〕3/2＝a(3/22/3)3/2＝(3√3)a/2 、
≧において、等号は m2/3/2＝1/m4/3 のとき、すなわち m＝√2 のとき成り立つので、
L の最小値は (3√3)a/2 です。
S＝BR･BQ/2＝{a(m2＋1)/m}{a(m2＋1)/m2}/2＝a2{(m2＋1)2/m3}/2＝a2{(m2＋1)/m3/2}2/2 、
＝a2(m1/2＋1/m3/2)2/2＝a2(m1/2/3＋m1/2/3＋m1/2/3＋1/m3/2)2/2
≧a2〔4･4√{(m1/2/3)(m1/2/3)(m1/2/3)(1/m3/2)}〕2/2＝a2(4/33/4)2/2＝8a2/(3√3) 、
≧において、等号は m1/2/3＝1/m3/2 のとき、すなわち m＝√3 のとき成り立つので、
S の最小値は 8a2/(3√3) です。
a＝2√3 ，a2＝12 だから、L の最小値は (3√3)(2√3)/2＝9 、
S の最小値は 8･12/(3√3)＝32/√3＝18．4752…… です。
[解答3] たけちゃんさんの解答
∠ABP＝θ とする．0＜θ≦π/4 ．
BP＝(4√3)/cosθ，BQ＝(BP/2)/cosθ＝(2√3)/cos2θ ，
L＝BQ/sinθ＝(2√3)/(sinθcos2θ) ，
S＝L(BP/2)/2＝L(BP/4)＝6/(sinθcos3θ) ．
ここで，f(θ)＝sinaθcosbθ (a，b は a＜b である自然数)とおくと，
f'(θ)＝a･sina-1θcosb+1θ－b･sina+1θcosb-1θ
＝sina-1θcosb-1θ(a･cos2θ－b･sin2θ)
＝sina-1θcosb-1θ{a－(a＋b)sin2θ}
であるから，f(θ) (0＜θ≦π/4) は，
sinθ＝√{a/(a＋b)} ，cosθ＝√{b/(a＋b)} である鋭角θにおいて最大であり，
最大値は √{aabb/(a＋b)a+b} ．
よって，Lの最小値は (2√3)/√(1･4/27)＝9 ．
Sの最小値は 6/(√(1･27/256))＝32/√3＝18．4752…… ．
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