[答1837] 直角三角形内の正三角形
∠B＝90ﾟ，AB＝6 ，BC＝9√3 である △ABCの、辺AB上に点P，辺BC上に点Q，辺CA上に点Rを
とって、正三角形PQRを描き、その１辺を L とするとき、L の最小値は？
[解答1]
座標平面上で A(0，6)，B(0，0)，C(9√3，0)，P(0，p)，Q(q，0) とします。
複素数平面上で、有向線分QPを表す複素数 ip－q を －60ﾟ 回転すると、
(ip－q)(1－i√3)/2＝(ip－q＋p√3＋iq√3)/2＝(－q＋p√3)/2＋i(p＋q√3)/2 だから、
Rを表す複素数は、(－q＋p√3)/2＋i(p＋q√3)/2＋q＝(p√3＋q)/2＋i(p＋q√3)/2 、
R((p√3＋q)/2，i(p＋q√3)/2) です。
直線ACは、x/(9√3)＋y/6＝1 で、直線AC上にRがあるから、
(p√3＋q)/(18√3)＋(p＋q√3)/12＝1 、2(p√3＋q)＋(3√3)(p＋q√3)/12＝36√3 、
(5√3)p＋11q＝36√3 です。
コーシー･シュワルツの不等式より、{(5√3)2＋112}(p2＋q2)≧{(5√3)p＋11q}2 、
196L2≧(36√3)2 、14L≧36√3 、L≧(18√3)/7 です。
等号が成り立つのは、p：q＝5√3：11 のときで、p＝(5√3)k，q＝11k とおけば、
(5√3)p＋11q＝36√3 より、75k＋121k＝36√3 、196k＝36√3 、k＝(9√3)/49 だから、
最小値は (18√3)/7 、p＝135/49，q＝(99√3)/49 のときです。
[解答2]
座標平面上で A(0，6)，B(0，0)，C(9√3，0)，R(X，Y)，∠PQB＝θ とします。
∠RQC＝120ﾟ－θ，∠BPQ＝90ﾟ－θ，∠APR＝30ﾟ＋θ 、
X/L＝sin(30ﾟ＋θ)＝sin30ﾟcosθ＋cos30ﾟsinθ 、2X/L＝cosθ＋(√3)sinθ 、
Y/L＝sin(120ﾟ－θ)＝sin120ﾟcosθ－cos120ﾟsinθ 、2Y/L＝(√3)cosθ＋sinθ 、
直線ACは、x/(9√3)＋y/6＝1 、18√3＝2x＋(3√3)y 、(36√3)/L＝2(2x/L)＋(3√3)(2y/L) 、
Rは直線AC上にあるので、
(36√3)/L＝2(2X/L)＋(3√3)(2Y/L)＝2{cosθ＋(√3)sinθ}＋(3√3){(√3)cosθ＋sinθ}
＝11cosθ＋(5√3)sinθ＝14cos(θ－α) 、
( ただし、αは ベクトル(11，5√3)とｘ軸の正方向のなす角で鋭角 )
よって、θ＝α のとき (36√3)/L の最大値が 14 になり、
L/(36√3) の最小値が 1/14 、L の最小値は (36√3)/14＝(18√3)/7 です。
.
