[答1835] ３辺が等差数列
３辺 BC，CA，AB がこの順に等差数列である △ABCにおいて、
∠ABC の二等分線と辺CAの交点をDとします。
BD＝87 で、△ABCの内接円の半径が 23 であるとき、CA＝？
[解答1]
∠B＝2θ ，BC＝a ，CA＝b ，AB＝c ，AD＝d ，内心をP，内接円の半径を r とします。
2△ABC＝2△ABD＋2△DBC＝2△PBC＋2△PCA＋2△PAB だから、
ca･sin2θ＝ad･sinθ＋cd･sinθ＝ar＋br＋cr 、
2ca･sinθcosθ＝(a＋c)d･sinθ＝(a＋b＋c)r 、
a＋c＝2b だから、2ca･sinθcosθ＝2bd･sinθ＝3br 、
よって、ca･cosθ＝bd 、cosθ＝bd/(ca) ，sinθ＝3r/(2d) になり、
cos2θ＝1－sin2θ より b2d2/(c2a2)＝1－9r2/(4d2)＝(4d2－9r2)/(4d2) 、
c2a2＝4d2･b2d2/(4d2－9r2) 、ca＝2bd2/√(4d2－9r2) です。
余弦定理より、
b2＝c2＋a2－2ca･cos2θ＝(c＋a)2－2ca－2ca･cos2θ＝(2b)2－2ca(1＋cos2θ) 、
2ca(1＋cos2θ)＝3b2 、2ca･2cos2θ＝3b2 、4(ca･cosθ)2＝3b2ca 、4(bd)2＝3b2ca 、
4d2＝3ca 、4d2＝3･2bd2/√(4d2－9r2) 、2＝3b/√(4d2－9r2) 、
b＝(2/3)√(4d2－9r2)＝(2/3)√{(2d＋3r)(2d－3r)} です。
本問では、d＝87 ，r＝23 だから、2d＝174 ，3r＝69 、
CA＝b＝(2/3)√{(174＋69)(174－69)}＝(2/3)√(243･105)＝18√35 です。
[解答2]
BC＝a ，CA＝b ，AB＝c ，AD＝d ，内心をP，内接円の半径を r とします。
a，b，c は等差数列なので、a＋c＝2b 、
△PBC，△PCA，△PAB も等差数列なので、△PBC＋△PAB＝2△PCA 、
△ABC＝△PBC＋△PCA＋△PAB＝3△PCA だから、PD＝BD/3＝d/3 、BP＝2d/3 です。
次に、内接円とBC，CA，ABとの接点をT，U，Vとすれば、
BT＋BV＝BC－CT＋BA－AV＝a＋c－(CT＋AV)＝2b－(CU＋AU)＝2b－CA＝2b－b＝b 、
BT＝BV だから、BT＝BV＝b/2 、
三平方の定理より、BT2＋PT2＝BP2 だから、BT2＝BP2－PT2 、
(b/2)2＝(2d/3)2－r2 、CA＝b＝2√{(2d/3)2－r2}＝2√{(2d/3＋r)(2d/3－r)} です。
本問では、d＝87 ，r＝23 だから、2d/3＝2･87/3＝58 、
CA＝2√{(58＋23)(58－23)}＝2√(81･35)＝2･9√35＝18√35 です。
.
