[答1831] 絶対値の最大･最小
実数 x，y が |x|＋|y|＝1 を満たすとき、|6x－2y|＋|21x－10y| の最大値，最小値は？
また、そのときの (x，y)は？
[解答1]
z＝|6x－2y|＋|21x－10y| ，|x|＝X ，|y|＝Y とします。
まず、Y＝1－X≧0 だから 0≦X≦1 です。
xy≧0 のとき x，y は同符号 または 0 だから、
z＝|6X－2Y|＋|21X－10Y|＝|6X－2(1－X)|＋|21X－10(1－X)|＝|8X－2|＋|31X－10|
0≦X≦1/4 のとき z＝－39X＋12 ，1/4≦X≦10/31 のとき z＝－23X＋8 ，
10/31≦X≦1 のとき z＝39X－12 ですので、最大･最小の候補は、
X＝0 のとき z＝12 ，X＝10/31 のとき z＝18/31 ，X＝1 のとき z＝27 です。
xy≦0 のとき x，y は異符号 または 0 だから、
z＝|6X＋2Y|＋|21X＋10Y|＝|6X＋2(1－X)|＋|21X＋10(1－X)|＝|4X＋2|＋|11X＋10|
＝15X＋12
ですので、最大･最小の候補は、X＝0 のとき z＝12 ，X＝1 のとき z＝27 です。
まとめて、最大値 27 (x，y)＝(±1，0)のとき、
最小値 18/31 (x，y)＝(±10/31，±21/31) (複号同順)のとき
[解答2]
|x|＋|y|＝k (k＞0) は xy平面上で (±k，0)，(0，±k) を頂点とする正方形(の周囲)です。
6x－2y＝a ，21x－10y＝b とおけば、x＝(5a－b)/9 ，y＝(7a－2b)/6 だから、
|(5a－b)/9|＋|(7a－2b)/6|＝1 、すなわち、|10a－2b|＋|21a－6b|＝18 のときの、
|a|＋|b| の最大値，最小値を求めることになります。
(x，y)＝(1，0) のとき (a，b)＝(6，21) ，(x，y)＝(0，1) のとき (a，b)＝(－2，－10) ，
(x，y)＝(－1，0) のとき (a，b)＝(－6，－21) ，(x，y)＝(0，－1) のとき (a，b)＝(2，10) 、
|10a－2b|＋|21a－6b|＝18 を場合分けして計算すると、a，b の１次式だから、ab平面上で
いずれも線分になり、グラフは、(6，21)，(－2，－10)，(－6，－21)，(2，10) を
頂点とする平行四辺形(の周囲)になります。
よって、(a，b)＝(±6，±21) のとき |a|＋|b| の最大値は 27 で、
(x，y)＝((5a－b)/9，(7a－2b)/6)＝(±1，0) のときです。
また、(6，21)と(－2，－10)，(－6，－21)と(2，10) を通る直線の傾きは 31/8＞1 だから、
|a|＋|b| が最小になるのは a軸上にあるときで、|10a－2b|＋|21a－6b|＝18 で b＝0 とし、
|10a|＋|21a|＝18 、31|a|＝18 、|a|＝18/31 、|a|＋|b|＝18/31 で、
(x，y)＝((5a－b)/9，(7a－2b)/6)＝(±10/31，±21/31) (複号同順) のときです。
まとめて、最大値 27 (x，y)＝(±1，0)のとき、
最小値 18/31 (x，y)＝(±10/31，±21/31) (複号同順)のとき
[参考]
最大値だけであれば、三角不等式より、
|6x－2y|≦|6x|＋|－2y|＝6|x|＋2|y|＝6|x|＋2(1－|x|)＝4|x|＋2 、
|21x－10y|≦|21x|＋|－10y|＝21|x|＋10|y|＝21|x|＋10(1－|x|)＝11|x|＋10 だから、
|6x－2y|＋|21x－10y|≦15|x|＋12≦15＋12＝27 (0≦|x|≦1 より)
x＝±1 ，y＝0 のとき 最大値 27 と求められます。
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