[答1825] 角と極限
a1＝0 ，an+1＝7an＋6 (n＝1，2，3，……) が成り立つ数列｛an｝があり、
傾きが an/an+1 ，an+1/an+2 である ２直線のなす角を θn (0＜θn＜π/2) とします。
n → ∞ のとき 7nθn → ？
[解答]
an+1＝7an＋6 より an+1＋1＝7(an＋1) だから、
数列｛an＋1｝は 初項 a1＋1＝1 ，公比 7 の等比数列になり、an+1＋1＝7n 、
an+1＝7n－1 であり、｛an｝は非負の項からなる単調増加数列です。
簡単のため、an+1＝A と表せば、
an+1＝7an＋6 より an＝(A－6)/7 、an+2＝7an+1＋6 より an+2＝7A＋6 、
an/an+1＝{(A－6)/7}/A＝(A－6)/(7A) 、an+1/an+2＝A/(7A＋6) だから、
tanθn＝|A/(7A＋6)－(A－6)/(7A)|/|1＋{A/(7A＋6)}{(A－6)/(7A)}|
＝|A(7A)－(A－6)(7A＋6)|/|(7A)(7A＋6)＋A(A－6)|＝18(A＋1)/{A(25A＋18)}
＝18(7n－1＋1)/{(7n－1)(25･7n－25＋18)}＝18･7n/{(7n－1)(25･7n－7)} 、
7ntanθn＝18･72n/{(7n－1)(25･7n－7)}＝18/{(1－1/7n)(25－7/7n)} 、
7nθn＝(θn/tanθn)(7ntanθn)＝18(θn/tanθn)/{(1－1/7n)(25－7/7n)} 、
n → ∞ のとき とすれば tanθn → 0 ，θn → 0 ，θn/tanθn → 1 ですので、
7nθn → 18/25 です。
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