[答1802] 三角形の面積比と辺の長さ
AB＝1 の △ABCとその内部に点Pがあって、∠PAB＝∠PBC＝∠PCA です。
△PAB：△PBC：△PCA＝36：52：117 のとき、BC＝？ また、CA＝？
[解答1]
BC＝a ，CA＝b ，AB＝c とし、m，n，p，q を正の数として、
座標平面上で A(m，n)，B(0，0)，C(a，0)，P(p，q) とすれば、
AB2＝m2＋n2＝c2 ，CA2＝(m－a)2＋n2＝b2 です。
また、∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ とすれば、BPの傾きは tanθ＝q/p です。
ABの傾きを tanα とすれば、tanα＝n/m で、APの傾きは tan(α＋θ)＝(q－n)/(p－m) 、
tan(α＋θ)＝(tanα＋tanθ)/(1－tanαtanθ)＝(n/m＋q/p)/{1－(n/m)(q/p)}
＝(np＋mq)/(mp－nq)＝(q－n)/(p－m) 、
(p－m)(np＋mq)＝(q－n)(mp－nq) 、np2＋mpq－mnp－m2q＝mpq－nq2－mnp＋n2q 、
np2＋nq2＝m2q＋n2q ……(1) 、
ACの傾きを tanβ とすれば、tanβ＝n/(m－a) で、CPの傾きは tan(β＋θ)＝q/(p－a) 、
tan(β＋θ)＝(tanβ＋tanθ)/(1－tanβtanθ)＝{n/(m－a)＋q/p}/〔1－{n/(m－a)}(q/p)〕
＝(np＋mq－aq)/(mp－ap－nq)＝q/(p－a) 、
(p－a)(np＋mq－aq)＝q(mp－ap－nq) 、
np2＋mpq－apq－anp－amq＋a2q＝mpq－apq－nq2 、
np2＋nq2＝anp＋amq－a2q ……(2) 、
(1)(2)より、anp＋amq－a2q＝m2q＋n2q 、anp＝(m2＋n2＋a2－am)q 、
2anp＝(a2＋m2－2am＋a2＋n2＋m2＋n2)q＝(a2＋b2＋c2)q ……(3) 、
(1)×4a2n より、4a2n2p2＋4a2n2q2＝4a2n(m2q＋n2q) 、
(3)を代入し、(a2＋b2＋c2)2q2＋4a2n2q2＝4a2n(m2q＋n2q) 、
(a2＋b2＋c2)2q＋4a2n2q＝4a2n(m2＋n2)＝4a2c2n 、q＝4a2c2n/{(a2＋b2＋c2)2＋4a2n2} で、
4a2n2＝(2an)2＝(4△ABC)2＝(a＋b＋c)(－a＋b＋c)(a－b＋c)(a＋b－c)
＝{(b＋c)2－a2}{a2－(b－c)2}＝{(b＋c)2＋(b－c)2}a2－(b＋c)2(b－c)2－a4
＝(2b2＋2c2)a2－(b4－2b2c2＋c4)－a4＝2b2c2＋2c2a2＋2a2b2－a4－b4－c4 だから、
(a2＋b2＋c2)2＋4a2n2＝4(b2c2＋c2a2＋a2b2) になり、
q＝4a2c2n/{4(b2c2＋c2a2＋a2b2)}＝a2c2n/(b2c2＋c2a2＋a2b2) です。
よって、△PBC/△ABC＝q/n＝c2a2/(b2c2＋c2a2＋a2b2) になります。
同様に、△PCA/△ABC＝a2b2/(b2c2＋c2a2＋a2b2) ，△PAB/△ABC＝b2c2/(b2c2＋c2a2＋a2b2) 、
△PBC：△PCA：△PAB＝c2a2：a2b2：b2c2 です。
△PAB：△PBC：△PCA＝36：52：117 だから、b2c2：c2a2：a2b2＝36：52：117 、
ba：ca：ab＝6：2√13：3√13 、bc＝6k ，ca＝(2√13)k ，ab＝(3√13)k とおけば、
a2b2c2＝36･13k3 、abc＝(6√13)√k になり、a＝(√13)√k ，b＝3√k ，c＝2√k 、
c＝2√k＝1 だから、√k＝1/2 、a＝(√13)/2＝1．80277…… ，b＝3/2＝1．5 です。
[解答2]
∠CPA＝180ﾟ－(∠PAC＋∠PCA)＝180ﾟ－(∠PAC＋∠PAB)＝180ﾟ－∠CAB だから、
sin∠CPA＝sin∠CAB 、同様に sin∠APB＝sin∠ABC ，sin∠BPC＝sin∠BCA です。
正弦定理より、BC：CA：AB＝sin∠CAB：sin∠ABC：sin∠BCA だから、
BC：CA：AB＝sin∠CPA：sin∠APB：sin∠BPC です。
△PBC：△PCA：△PAB＝PB･PCsin∠BPC：PC･PAsin∠CPA：PA･PBsin∠APB
＝PB･PC･AB：PC･PA･BC：PA･PB･CA＝AB/PA：BC/PB：CA/PC 、
AB/PA：BC/PB：CA/PC＝△PBC：△PCA：△PAB であり、
PA･AB：PB･BC：PC･CA＝△PAB：△PBC：△PCA ですので、
AB2：BC2：CA2＝(△PBC)(△PAB)：(△PCA)(△PBC)：(△PAB)(△PCA)
＝1/△PCA：1/△PAB：1/△PBC＝1/117：1/36：1/52＝1：117/36：117/52
＝1：13/4：9/4 、
AB：BC：CA＝1：(√13)/2：3/2 、BC＝(√13)/2＝1．80277…… ，CA＝3/2＝1．5 です。
[解答3] sbr*d4*5さんの発想より
APの延長とBCの交点をK，BPの延長とCAの交点をL，CPの延長とABの交点をM とします。
AK：PK＝△ABC：△PBC ，BP：PL＝△ABC：△PCA ，CP：PM＝△ABC：△PAB 、
△KAB∽△KBP で、△KAB：△KBP＝AK：PK＝AB2：BP2＝1：BP2/AB2 、
△LBC∽△LCP で、△LBC：△LCP＝BL：PL＝BC2：CP2＝1：CP2/BC2 、
△MCA∽△MAP で、△MCA：△MAP＝CM：PM＝CA2：AP2＝1：AP2/CA2 、
よって、△PBC：△PCA：△PAB＝BP2/AB2：CP2/BC2：AP2/CA2 ……(1) です。
また、△PBC：△PCA：△PAB＝BP･BC：CP･CA：AP･AB だから、
1/△PBC2：1/△PCA2：1/△PAB2＝1/(BP･BC)2：1/(CP･CA)2：1/(AP･AB)2 ……(2) です。
(1)×(2) より 1/△PBC：1/△PCA：1/△PAB＝1/(AB･BC)2：1/(BC･CA)2：1/(CA･AB)2 、
CA2：AB2：BC2＝1/△PBC：1/△PCA：1/△PAB＝1/52：1/117：1/36＝9/4：1：13/4 、
CA：AB：BC＝3/2：1：(√13)/2 、BC＝(√13)/2＝1．80277…… ，CA＝3/2＝1．5 です。
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