[答1795] 正六角形と長さ

[答1795] 正六角形と長さ


　正六角形ABCDEFと 点Pがあり、PB＝67 ，PC＝√10957 ，PD＝115 のとき、(PA，PE)＝？

　図は正確ではありません。


[解答1]

　座標平面上で A(－a，a√3)，B(－2a，0)，C(－a，－a√3)，D(a，－a√3)，E(2a，0)，

　F(a，a√3)，P(x，y) とします。

　PA²＝(x＋a)²＋(y－a√3)²＝x²＋y²＋4a²＋2ax－2ay√3 、

　PB²＝(x＋2a)²＋y²＝x²＋y²＋4a²＋4ax 、

　PC²＝(x＋a)²＋(y＋a√3)²＝x²＋y²＋4a²＋2ax＋2ay√3 、

　PD²＝(x－a)²＋(y＋a√3)²＝x²＋y²＋4a²－2ax＋2ay√3 、

　PE²＝(x－2a)²＋y²＝x²＋y²＋4a²－4ax 、

　PF²＝(x－a)²＋(y－a√3)²＝x²＋y²＋4a²－2ax－2ay√3 だから、

　PA²＋PD²＝PB²＋PE²＝PC²＋PF²＝2(x²＋y²＋4a²) であり、

　PA²＋PC²＋PE²＝PB²＋PD²＋PF²＝3(x²＋y²＋4a²) であるので、

　3(PC²＋PF²)＝2(PB²＋PD²＋PF²) 、両辺から 2(PC²＋PF²) を減じて、

　PC²＋PF²＝2(PD²＋PB²－PC²)＝2(115²＋67²－10957)＝13514 、

　よって、PA²＋PD²＝PB²＋PE²＝PC²＋PF²＝13514 、PA²＋115²＝67²＋PE²＝13514 、

　(PA²，PE²)＝(13514－115²，13514－67²)＝(289，9025) 、(PA，PE)＝(17，95) です。


[解答2]

　太字はベクトルを表すものとし、正六角形の中心をO，外接円の半径をRとします。

　PA²＝|PA|²＝|OA－OP|²＝|OA|²－2OA･OP＋OP|²＝R²＋OP²－2OA･OP 、

　同様に、PB²＝R²＋OP²－2OB･OP ，PC²＝R²＋OP²－2OC･OP ，

　PD²＝R²＋OP²－2OD･OP ，PE²＝R²＋OP²－2OE･OP ，PF²＝R²＋OP²－2OF･OP です。

　ここで、OA＋OD＝0 ，OB＋OE＝0 ，OC＋OF＝0 だから、

　PA²＋PD²＝PB²＋PE²＝PC²＋PF²＝2(R²＋OP²) です。

　また、OA＋OC＋OE＝0 ，OB＋OD＋OF＝0 だから、

　PA²＋PC²＋PE²＝PB²＋PD²＋PF²＝3(R²＋OP²) です。

　よって、PA²＋PE²－PF²＝PB²＋PD²－PC² 、

　PA²＋PD²＋PB²＋PE²－PF²－PC²＝2(PB²＋PD²－PC²) 、

　PA²＋PD²＝PB²＋PE²＝PC²＋PF²＝2(PB²＋PD²－PC²)＝2(67²＋115²－10957)＝13514 、

　(PA²，PE²)＝(13514－115²，13514－67²)＝(289，9025) 、(PA，PE)＝(17，95) です。


[解答3]

　正六角形の中心をOとし、１辺の長さをLとします。

　パップスの中線定理より、PA²＋PD²＝2(PO²＋OA²)＝2PO²＋2L² 、

　同様にして、PA²＋PD²＝PB²＋PE²＝PC²＋PF²＝2PO²＋2L² が成り立ちます。

　次に、ABの延長とDCの延長との交点をQとすれば、パップスの中線定理より、

　PA²＋PQ²＝2(PB²＋AB²)＝2(PB²＋L²) ，PQ²＋PD²＝2(PC²＋CD²)＝2(PC²＋L²) 、

　辺々減じて、PA²－PD²＝2PB²－2PC² 、PA²＋PD²＝2PB²－2PC²＋2PD² 、

　PA²＋PD²＝2(PB²－PC²＋PD²)＝2(67²－10957＋115²)＝13514 、

　PA²＋PD²＝PB²＋PE²＝PC²＋PF²＝13514 です。

　(PA²，PE²)＝(13514－115²，13514－67²)＝(289，9025) 、(PA，PE)＝(17，95) です。

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