[答1766] 整数解の個数
(1) |x|＋|y|＋|z|＝21 を満たす整数の組(x，y，z)の個数は？
(2) |x|＋|y|＋|z|≦21 を満たす整数の組(x，y，z)の個数は？
[準備] 自然数の組の個数
x＋y＋z≦n を満たす自然数の組(x，y，z)の個数は、
◯|◯|◯|……|◯| のように、ｎ個の ◯| を並べ、３個の | を選び、左から a，b，c とし、
aより左の◯の数を x ，bより左の◯の数を x＋y ，cより左の◯の数を x＋y＋z とすればよい。
よって、nＣ3 個になります。
x＋y＋z＝n を満たす自然数の組(x，y，z)の個数は、
一番右の | を c とすればよいので、n-1Ｃ2 個です。
[解答1]
自然数ｎについて、|x|＋|y|＋|z|＝n を満たす整数の組(x，y，z)の個数を F(n) とします。
|x|≠0，|y|≠0，|z|≠0 のとき、x，y，z の符号を考慮すれば、8･n-1Ｃ2 個、
|x|＝0，|y|≠0，|z|≠0 のとき、y，z の符号を考慮すれば、4･n-1Ｃ1 個で、
|x|≠0，|y|＝0，|z|≠0 のとき，|x|≠0，|y|≠0，|z|＝0 のときも同数、
|x|＝0，|y|＝0，|z|≠0 のとき、z＝±n の 2個で、
|x|≠0，|y|＝0，|z|＝0 のとき，|x|＝0，|y|≠0，|z|＝0 のときも同数、
F(n)＝8･n-1Ｃ2＋3･4･n-1Ｃ1＋3･2＝4(n－1)(n－2)＋3･4(n－1)＋3･2＝4n2＋2 です。
(1) F(21)＝4･212＋2＝1766 、
(2) (x，y，z)＝(0，0，0) を含めて、
1＋F(1)＋F(2)＋F(3)＋……＋F(21)＝1＋4(12＋22＋32＋……＋212)＋2･21
＝1＋4･21･22･43/6＋42＝13287 です。
[解答2]
自然数ｎについて、|x|＋|y|＋|z|≦n を満たす整数の組(x，y，z)の個数を G(n) とします。
|x|≠0，|y|≠0，|z|≠0 のとき、x，y，z の符号を考慮すれば、8･nＣ3 個、
|x|＝0，|y|≠0，|z|≠0 のとき、y，z の符号を考慮すれば、4･nＣ2 個で、
|x|≠0，|y|＝0，|z|≠0 のとき，|x|≠0，|y|≠0，|z|＝0 のときも同数、
|x|＝0，|y|＝0，|z|≠0 のとき、z の符号を考慮すれば、2･nＣ1＝2n 個で、
|x|≠0，|y|＝0，|z|＝0 のとき，|x|＝0，|y|≠0，|z|＝0 のときも同数、
(x，y，z)＝(0，0，0) を含めて、
G(n)＝8･nＣ3＋3･4･nＣ2＋3･2･nＣ1＋1＝4n(n－1)(n－2)/3＋3･2n(n－1)＋3･2n＋1
＝(4n3－12n2＋8n)/3＋6n2＋1＝(4n3＋6n2＋8n＋3)/3＝(2n＋1)(2n2＋2n＋3)/3 です。
(2) G(21)＝43･927/3＝43･309＝13287 、
(1) G(21)－G(20)＝13287－41･843/3＝13287－11521＝1766 です。
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