[答1742] 三角形と長さ
∠A＝90ﾟ ，AB＝12 ，AC＝3 である直角三角形ABCがあり、
辺BCの延長上に ∠CAD＝45ﾟ になる点Dをとるとき、CD＝？ また、AD＝？
[解答1]
xy平面で、A(0，0)，B(0，－12)，C(3，0) とすれば、BC：y＝4x－12 ，AD：y＝x ですので、
連立し、4x－12＝x 、3x＝12 、x＝4 、y＝4 だから、D(4，4) です。
よって、CD＝√(12＋42)＝√17 ，AD＝√(42＋42)＝4√2 です。
[解答2]
まず、BC＝√(122＋32)＝3√17 ですので、
cos∠BCA＝3/(3√17)＝1/√17 ，sin∠BCA＝12/(3√17)＝4/√17 です。
sin∠D＝sin(∠BCA－45ﾟ)＝sin∠BCAcos45ﾟ－cos∠BCAsin45ﾟ＝4/√34－1/√34＝3/√34 、
正弦定理より
AC：CD：DA＝sin∠D：sin45ﾟ：sin∠BCA＝3/√34：1/√2：4/√17＝3：√17：4√2 、
CD＝BC/3＝√17 ，AD＝4√2 です。
[解答3]
まず、BC＝√(122＋32)＝3√17 です。
辺AB上に AE＝3 を満たす点Eをとれば、△AECは直角二等辺三角形ですので、EC＝3√2 、
∠AEC＝45ﾟ ですので、∠AEC＋∠EAD＝180ﾟ 、EC//AD になり、△EBC∽△ABD 、
EB：AB＝BC：BD＝EC：AD 、9：12＝3√17：BD＝3√2：AD 、BD＝4√17 ，AD＝4√2 、
CD＝BD－BC＝4√17－3√17＝√17 です。
[解答4]
まず、BC＝√(122＋32)＝3√17 です。
ADは△ABCの∠Aの外角の二等分線だから、BD：DC＝BA：AC＝12：3＝4：1 、
BD＝4BC/3＝4√17 ，CD＝BC/3＝√17 です。
AD2＝BD･DC－BA･AC＝(4√17)√17－12･3＝32 、AD＝4√2 です。
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