[答1694] 半円の直径
ABを直径とする半円があり、点CをAB上に、CD⊥AB である点Dを弧AB上にとります。
BC＝22 であり、線分BC，線分CD，弧DBに接する小円の直径が 18であるとき、AB＝？
また、線分AC，線分CD，弧DAに接する小円の直径は？
[解答1]
ABの中点をM，AB＝2R とし、座標平面上で C(0，0)，M(m，0) とすれば B(m＋R，0) です。
線分BC，線分CD，円弧に接する小円の中心は(9，9)で、
これが (x－m)2＋y2＝(R－9)2 上にあるので、
(9－m)2＋92＝(R－9)2 、(R－9)2－(9－m)2＝92 、(R－m)(R＋m－18)＝81 、
ここで、BC＝R＋m＝22 だから、
(R－m)(22－18)＝81 、R－m＝81/4 、2R＝22＋81/4＝169/4 です。
線分AC，線分CD，円弧に接する小円の半径をｒとすれば、中心は(－r，r)で、
これが (x－m)2＋y2＝(R－r)2 上にあるので、
(－r－m)2＋r2＝(R－r)2 、r2＋(r＋m)2－(R－r)2＝0 、
r2＋(R＋m)(2r＋m－R)＝0 、r2＋22(2r－81/4)＝0 、(2r)2＋88(2r)－1782＝0 、
正の解は 2r＝－44＋√(442＋1782)＝－44＋√3718＝－44＋13√22 です。
AB＝2R＝169/4 ，線分AC，線分CD，円弧に接する小円の直径は 2r＝－44＋13√22 です。
[解答2]
ABの中点をO ，OA＝OB＝r ，右の小円とBCの接点をT ，右の小円と弧BDの接点をP とすれば、
(r－9)cos∠POB＝OT＝r－BT＝r－(BC－9)＝r－13 、また、(r－9)sin∠POB＝9 だから、
(r－9)2cos2∠POB＋(r－9)2sin2∠POB＝(r－13)2＋92 、
r2－18r＋81＝r2－26r＋169＋81 、8r＝169 、2r＝169/4 です。
左の小円の半径を a ，左の小円とACの接点をU ，左の小円と弧ADの接点をR とすれば、
(r－a)cos∠ROA＝OU＝r－AU＝r－(AC－a)＝r＋a－AC＝r＋a－(2r－BC)＝－r＋a＋22 、
また、(r－a)sin∠ROA＝a だから、(r－a)2cos2∠ROA＋(r－a)2sin2∠ROA＝(－r＋a＋22)2＋a2 、
(r－a)2－(－r＋a＋22)2－a2＝0 、22(2r－2a－22)－a2＝0 、22(8r－8a－88)－4a2＝0 、
22(169－8a－88)－4a2＝0 、4a2＋176a－1782＝0 、(2a)2＋88･2a－1782＝0 、
2a＞0 より 2a＝－44＋13√22 です。
[解答3]
ABの中点をO ，OA＝OB＝r ，右の小円の半径を b ，左の小円の半径を a とし、
右の小円とBCの接点をT ，右の小円と弧BDの接点をP ，OPと右の小円の交点をQ ，
左の小円とACの接点をU ，左の小円と弧ADの接点をR ，OPと左の小円の交点をS とすれば、
BT＝BC－b ，AU＝AC－a だから、OT＝r－BT＝r＋b－BC ，OU＝r－AU＝r＋a－AC です。
方べきの定理より、OT2＝OP･OQ＝r(r－2b) ，OU2＝OR･OS＝r(r－2a) 、
よって、(r＋b－BC)2＝r(r－2b) ，(r＋a－AC)2＝r(r－2a) 、
2(b－BC)r＋(b－BC)2＝－2br ，2(a－AC)r＋(a－AC)2＝－2ar 、
(b－BC)2＝2(BC－2b)r ，(a－AC)2＝2(AC－2a)r です。
本問では、b＝9 ，BC＝22 だから、(－9＋22)2＝2(22－18)r 、2r＝169/4 です。
また、AC＝2r－BC＝169/4－22＝81/4 、(a－81/4)2＝(81/4－2a)･169/4 、
(4a－81)2＝(81－8a)･169 、16a2－648a＋6561＝13689－1352a 、16a2＋704a－7128＝0 、
4a2＋176a－1782＝0 、(2a)2＋88･2a－1782＝0 、2a＞0 より 2a＝－44＋13√22 です。
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