[答1678] 分数式の範囲
実数 x，y が、x2＋y2＝1 を満たすとき、(5x＋2y＋6)/(13x＋12y＋19) の範囲は？
[解答1]
－π≦θ≦π ，x＝cosθ ，y＝sinθ ，f(θ)＝(5x＋2y＋6)/(13x＋12y＋19) とおきます。
f(θ)＝(5cosθ＋2sinθ＋6)/(13cosθ＋12sinθ＋19) 、
f'(θ)＝－17(2＋sinθ＋2cosθ)/(13cosθ＋12sinθ＋19)2 になり、
αを cosα＝－3/5 ，sinα＝－4/5 ，－π＜α＜－π/2 を満たす角とすれば、
－π＜θ＜α のとき f'(θ)＞0 ，α＜θ＜π のとき f'(θ)＜0 だから、
f(θ) は、x＝±π のとき最小 ，x＝α のとき最大 で、
f(±π)＝(－5＋6)/(－13＋19)＝1/6 ，
f(α)＝(－5･3/5－2･4/5＋6)/(－13･3/5－12･4/5＋19)＝7/8 、
1/6≦(5x＋2y＋6)/(13x＋12y＋19)≦7/8 です。
[解答2]
(5x＋2y＋6)/(13x＋12y＋19)＝k とおけば、
k(13x＋12y＋19)＝5x＋2y＋6 、(13k－5)x＋(12k－2)y＋(19k－6)＝0 であり、
xy平面で、この直線と 円 x2＋y2＝1 が共有点をもてば、その(x，y)でｋが決まります。
直線と円の中心の距離が半径以下であればよいので、|19k－6|/√{(13k－5)2＋(12k－2)2}≦1 、
|19k－6|≦√{(13k－5)2＋(12k－2)2} 、(19k－6)2≦(13k－5)2＋(12k－2)2 、
361k2－228k＋36≦169k2－130k＋25＋144k2－48k＋4 、48k2－50k＋7≦0 、
(6k－1)(8k－7)≦0 、1/6≦k≦7/8 です。
なお、共有点が 13x＋12y＋19＝0 を満たすとそのときのｋは適しませんが、
直線 13x＋12y＋19＝0 と (0，0) との距離は 19/√(132＋122)＝√(361/313)＞1 だから、
x2＋y2＝1 を満たしません。
従って、1/6≦(5x＋2y＋6)/(13x＋12y＋19)≦7/8 です。
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