[答1651] 分数式の最大値
x＞0 ，y＞0 ，z＞0 のとき、8xyz/{(yz＋21)(zx＋93)(xy＋217)} の最大値は？
また、最大値をとるとき (x，y，z)＝？
[解答1]
V＝8xyz/{(yz＋21)(zx＋93)(xy＋217)} とおくと、
8/V＝(yz＋21)(zx＋93)(xy＋217)/(xyz)
＝{(yz＋21)/√(yz)}{(zx＋93)/√(zx)}{(xy＋217)/√(xy)}
＝{√(yz)＋21/√(yz)}{√(zx)＋93/√(zx)}{√(xy)＋217/√(xy)}
ここで、相加･相乗平均の関係により、
√(yz)＋21/√(yz)≧2√21 ，√(zx)＋93/√(zx)≧2√93 ，√(xy)＋217/√(xy)≧2√217 、
等号が成立するのはそれぞれ、√(yz)＝√21 ，√(zx)＝√93 ，√(xy)＝√217 のときで、
(x，y，z)＝(31，7，3) のとき、３つの等号が成立します。
よって、8/V≧(2√21)(2√93)(2√217)＝8√(21･93･217)＝8･3･7･31＝8･651 、V≦1/651 、
(x，y，z)＝(31，7，3) のとき、V の最大値は 1/(3･7･31)＝1/651 です。
[解答2]
V＝8xyz/{(yz＋21)(zx＋93)(xy＋217)} とおくと、
8/V＝(yz＋21)(zx＋93)(xy＋217)/(xyz)
＝{(yz＋21)/z}{(zx＋93)/x}{(xy＋217)/y}＝(y＋21/z)(z＋93/x)(x＋217/y)
＝xyz＋21x＋93y＋217z＋93･217/x＋21･217/y＋21･93/z＋21･93･217/(xyz) 、
ここで、相加･相乗平均の関係により、
21x＋93･217/x≧2√(21x･93･217/x)＝√(21･93･217) 、等号は x＝√(93･217/21) のとき成立 、
93y＋21･217/y≧2√(93y･21･217/y)＝√(21･93･217) 、等号は y＝√(21･217/93) のとき成立 、
217z＋21･93/z≧2√(217z･21･93/z)＝√(21･93･217) 、等号は z＝√(21･93/217) のとき成立 、
xyz＋21･93･217/(xyz)≧2√{xyz･21･93･217/(xyz)}＝√(21･93･217) 、
等号は xyz＝√(21･93･217) のとき成立 、
よって、x＝√(93･217/21)，y＝√(21･217/93)，z＝√(21･93/217) のとき、8/V は最小値をとり、
8/V の最小値は 8√(21･93･217) 、V の最大値は1/√(21･93･217) です。、
21＝3･7 ，93＝3･31 ，217＝7･31 だから、
(x，y，z)＝(31，7，3) のとき、V の最大値は 1/(3･7･31)＝1/651 です。
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