[答1649] 小さいほうの数が３の倍数
ｎを２以上の自然数として、１からｎの数が１つずつ書かれたｎ枚のカードから無作為に２枚を
取り出すとき、そのうちの小さいほうの数が３の倍数である確率を P(n) とします。
(1) P(99)＝？ (2) P(n)＝P(99) ，n≠99 を満たす２以上の自然数ｎは？
[解答]
ｎを３で割った商をｑ，余りをｒ(r＝0，1，2) とすれば、3q＝n－r です。
２枚の取り出し方は nＣ2＝n(n－1)/2 で、
小さいほうが 3 であるのは n－3 通り、小さいほうが 6 であるのは n－6 通り、……、
小さいほうが 3q であるのは n－3q 通りだから、小さいほうの数が３の倍数である場合は、
(n－3)＋(n－6)＋……＋(n－3q)＝(2n－3－3q)q/2 だから、
P(n)＝(2n－3－3q)q/{n(n－1)} であり、
3P(n)＝(2n－3－3k)(3k)/{n(n－1)}＝(n＋r－3)(n－r)/{n(n－1)} 、
r＝0 のとき 3P(n)＝(n－3)/(n－1)＝1－2/(n－1) 、
r＝1，2 のとき 3P(n)＝(n－2)/n＝1－2/n です。
よって、3P(99)＝1－2/(99－1)＝48/49 、P(99)＝16/49 です。
また、3P(n)＝3P(99) ，n≠99 を満たす２以上の自然数ｎは明らかに n＝98 だけです。
.
